Росатом, 2024/25, отборочный этап, 9 класс

Идеальный амперметр имеет нулевое напряжение, а идеальный вольтметр не пропускает ток. Какие токи текут через резисторы, если известен ток в неразветвлённой части?

Сопротивление второго резистора \(R_2 = 367\) Ом; показания амперметров: \(A_1\) — \(1{,}2\) А, \(A_2\) — \(0{,}6\) А.

Так как приборы идеальны, то напряжения на амперметрах равны нулю; следовательно, напряжение источника равно показанию вольтметра и составляет \(U = 220\) В. При этом вольтметр имеет бесконечно большое сопротивление, и электрический ток через него не течёт. Поэтому ток, текущий через амперметр A, равен сумме токов, текущих через резистор \(R_1\) и резистор \(R_2\) (и амперметры \(A_1\) и \(A_2\)). Но через резистор \(R_1\) течёт электрический ток силой \[I_1 = \frac{U}{R_1} = 1{,}2\text{ А}.\] Поэтому через второй резистор течёт электрический ток силой \[I_2 = I - I_1 = 0{,}6\text{ А}\] (и таковым будет показание амперметра \(A_2\)), а сопротивление резистора \(R_2\) можно найти из закона Ома для участка цепи: \[R_2 = \frac{U}{I_2} = \frac{U}{I - I_1} = \frac{U}{I - \dfrac{U}{R_1}} = \frac{UR_1}{IR_1 - U} = 367\text{ Ом}.\]

Путь равен площади под графиком \(v_x(t)\). Средняя скорость равна отношению пути ко времени.

За все время движения \(v = \dfrac{3}{4}v_0\); за первую половину времени \(v_1 = \dfrac{1}{2}v_0\).

Пройденный телом путь есть площадь под графиком зависимости скорости от времени. Поэтому путь, пройденный за все время движения, равен площади трапеции с основаниями \(2t_0\) и \(t_0\) и высотой \(v_0\). Поэтому за все время движения (\(2t_0\)) тело пройдёт путь \[S = \frac{2t_0 + t_0}{2}\,v_0 = \frac{3}{2}\,v_0 t_0.\] Следовательно, средняя скорость тела за все время движения \(2t_0\) есть \[v = \frac{3}{4}\,v_0.\] Путь \(S_1\), пройденный телом за первую половину времени движения (\(t_0\)), равен площади треугольника с основанием \(t_0\) и высотой \(v_0\), т.е. \[S_1 = \frac{1}{2}\,v_0 t_0.\] Поэтому средняя скорость за первую половину полного времени движения есть \[v_1 = \frac{1}{2}\,v_0.\]

В верхней точке скорость горизонтальна. Сравните ускорение тела с \(g\): что это говорит о силе сопротивления? Запишите второй закон Ньютона с учётом силы тяжести и силы сопротивления.

\(F_c = \dfrac{\sqrt{7}}{3}\,mg\); вектор ускорения направлен под углом \(\alpha = \operatorname{arctg}\dfrac{\sqrt{7}}{3}\) к вертикали.

Поскольку ускорение тела больше ускорения свободного падения, на него действует сила сопротивления воздуха, направленная в верхней точке траектории параллельно поверхности земли (противоположно скорости). На рисунке показаны силы, действующие на тело в верхней точке траектории: сила тяжести, сила сопротивления воздуха и их равнодействующая (жирным). Поэтому модуль второго закона Ньютона для тела в верхней точке даёт \[ma = \sqrt{(mg)^2 + (F_c)^2}.\]

Выражая отсюда силу сопротивления и учитывая, что \(a = 4g/3\), получим \[F_c = \frac{\sqrt{7}}{3}\,mg.\] Направлен вектор ускорения под углом \[\alpha = \operatorname{arctg}\left(\frac{\sqrt{7}}{3}\right)\] к вертикали (см. рисунок).

Запишите закон пути \(x(t)=v_0 t + at^2/2\) для двух конечных точек участков, отсчитанных от начала движения, и решите систему двух уравнений.

\(v_0 = \dfrac{7l}{6\tau}\), \(a = \dfrac{l}{3\tau^2}\) (ускорение направлено против начальной скорости).

Поскольку время, затраченное на прохождение второго участка длиной \(l\), больше времени, затраченного на прохождение первого такого участка, ускорение тела направлено противоположно начальной скорости. Поэтому законы равноускоренного движения для прохождения первого и второго участков длиной \(l\) (координаты \(l\) и \(2l\) от начальной точки) дают \[l = v_0\tau - \frac{a\tau^2}{2}, \qquad 2l = 3v_0\tau - \frac{9a\tau^2}{2}.\] где \(v_0\) — начальная скорость тела, \(a\) — его ускорение. В этих уравнениях учтено, что время, прошедшее от начала движения до точки, находящейся на расстоянии \(l\) от начальной, равно \(\tau\), а время, прошедшее от начала движения до точки, находящейся на расстоянии \(2l\) от начальной, равно \(3\tau\). Решая эту систему уравнений относительно начальной скорости и ускорения \(v_0\) и \(a\), получим \[v_0 = \frac{7l}{6\tau}, \qquad a = \frac{l}{3\tau^2}.\]

Запишите уравнение теплового баланса за малое время для скорости роста температуры и для установившейся температуры, когда мощность нагревателя равна мощности теплопотерь.

\(t_0 = \dfrac{1}{5}(8t_1 - 3t_2) = 11^\circ\) С; мощность нагревателя нужно увеличить в \(1{,}4\) раза.

Пусть комнатная температура равна \(t_0\). Тогда для мощности \(w\) теплопотерь воды с температурой \(t_1\) имеем из закона Ньютона-Рихмана \[w = k\,(t_1 - t_0),\] где \(k\) — неизвестный коэффициент пропорциональности. Поэтому уравнение теплового баланса за малое время \(\Delta t\) при включении нагревателя даёт \[P\,\Delta t = cm\,\Delta T + w\,\Delta t,\] где \(P\) — мощность нагревателя, \(c\) — удельная теплоёмкость воды, \(m\) — её масса, \(\Delta T\) — изменение температуры. Отсюда находим для скорости роста температуры \[v = \frac{\Delta T}{\Delta t} = \frac{P - w}{cm} = \frac{P}{cm} - \frac{k(t_1 - t_0)}{cm},\] где \(k\) — коэффициент пропорциональности в законе Ньютона-Рихмана. С другой стороны, при максимальной температуре \(t_2\), до которой может нагреться вода, мощность теплопотерь равна мощности нагревателя: \[P = k\,(t_2 - t_0).\] А если нагреватель выключить, она определяет скорость остывания воды: \[1{,}6\,v = \frac{w}{cm} = \frac{k\,(t_2 - t_0)}{cm}.\] Деля формулу для \(v\) на формулу для скорости остывания, получим \[\frac{5}{8} = 1 - \frac{t_1 - t_0}{t_2 - t_0}.\] Отсюда \[t_0 = \frac{1}{5}\,(8t_1 - 3t_2) = 11^\circ\text{С}.\] Чтобы воду в сосуде можно было довести до кипения, мощность нагревателя нужно увеличить до такого значения, что \[P_1 = k\,(t_{\text{кип}} - t_0),\] где \(t_{\text{кип}} = 100^\circ\) С — температура кипения воды. Деля эту формулу на \(P = k\,(t_2 - t_0)\), получим \[\frac{P_1}{P} = \frac{t_{\text{кип}} - t_0}{t_2 - t_0} = \frac{5t_{\text{кип}} - 8t_1 + 3t_2}{8t_2 - 8t_1} = 1{,}4.\] Т.е. мощность нагревателя нужно увеличить в \(1{,}4\) раза.