Росатом, 2024/25, заключительный этап, 9 класс

Подсказка

Сколько промежутков \(b\) успеет пройти первый кубик за время \(t\)? Сколько кубиков к этому моменту уже вовлечено в движение и какова их суммарная длина?

Ответ

1) \(v_{ср} = \dfrac{av}{b}\);  2) \(\dfrac{av}{b} < v_{ср} < a\left(\dfrac{v}{b}+\dfrac{1}{t}\right)\) (интервал — по официальному решению, см. пометку в решении).

Решение

Пусть с начала движения первого кубика прошло время \(t\). Поскольку время столкновений кубиков мало, за это время в движение будет вовлечено столько кубиков, сколько расстояний между кубиками пройдёт первый кубик. Их число \(N\) определяется условием \(N \le \dfrac{vt}{b} < N+1\), то есть \(N = \left[\dfrac{vt}{b}\right]\), где \([\dots]\) — целая часть числа. Длина цепочки вовлечённых кубиков равна \[L = Na = a\left[\dfrac{vt}{b}\right].\] Поскольку время \(t\) очень большое, длина цепочки приближённо равна \(L = \dfrac{avt}{b}\). Поэтому средняя скорость возрастания длины цепочки \[v_{ср} = \dfrac{L}{t} = \dfrac{av}{b}\] не зависит от времени. Эта независимость приближённая, поскольку длина цепочки меняется дискретно, а время течёт непрерывно. Длина цепочки лежит в интервале \[\dfrac{avt}{b} < L < \dfrac{avt}{b} + a,\] что отвечает интервалу для средней скорости \[\dfrac{av}{b} < v_{ср} < \dfrac{av}{b} + \dfrac{a}{t} = a\left(\dfrac{v}{b}+\dfrac{1}{t}\right).\]

Подсказка

Вольтметры одинаковы, поэтому ток через каждый из них пропорционален его показанию. Составьте токовое уравнение для узла и уравнение Ома для участка с резистором \(R_1\).

Ответ

1) \(U = \dfrac{89}{80}U_1 \approx 11{,}1\text{ В}\);  2) \(r_V = 8R = 16\text{ кОм}\).

Решение

Так как каждый вольтметр показывает напряжение на самом себе, а ток, текущий через вольтметр \(V_2\) (см. рисунок), меньше тока, текущего через вольтметр \(V_1\), а вольтметры одинаковые, то показание \(U_1 = 10\text{ В}\) относится к вольтметру \(V_1\), а показание \(U_2 = U_1/10\) — к вольтметру \(V_2\).

Пусть через вольтметр \(V_1\) течёт ток силой \(I\). Тогда через вольтметр \(V_2\) течёт ток силой \(I/10\) (он показывает в 10 раз меньшее напряжение), а значит, через резистор \(R_1\) течёт ток силой \(8I/10\). Поскольку на резисторе \(R_1\), на резисторе \(R_2\) и на вольтметре \(V_2\) одинаковое напряжение, из закона Ома имеем \[\dfrac{9I}{10}R = \dfrac{I}{10}\left(R + r_V\right),\] где \(R\) и \(r_V\) — сопротивления резистора и вольтметра. Отсюда сопротивление вольтметра \[r_V = 8R = 16\text{ кОм}.\]

Сопротивление резистора \(R\) в 8 раз меньше сопротивления вольтметра, а вольтметр \(V_2\) показывает напряжение \(U_1/10\), поэтому напряжение на резисторе \(R_2\) составляет \(U_1/80\). Поэтому к цепи приложено напряжение \[U = U_1 + \dfrac{1}{10}U_1 + \dfrac{1}{80}U_1 = \dfrac{89}{80}U_1 = 11{,}1\text{ В}.\]

Подсказка

Если бы грелась только вода, время нагрева было бы пропорционально её объёму. Сравните результаты опытов с этим предположением: что ещё поглощает тепло?

Ответ

\(t_3 = 4t_2 - 3t_1 = 13\) мин.

Решение

Если бы мы грели только воду, то во втором случае понадобилось бы в полтора раза больше времени, чем в первом (то есть 7,5 мин). А потребовалось 7 мин, то есть меньше. Значит, кроме нагрева воды тепло тратится куда-то ещё. Потерь тепла по условию нет, поэтому остаётся единственная возможность — нельзя пренебречь теплоёмкостью самого чайника. Учтём её в уравнениях теплового баланса.

Пусть мощность нагревателя чайника \(P\), для нагревания объёма \(V_1\) от комнатной температуры до температуры кипения нужно количество теплоты \(Q\), а для нагревания чайника — количество теплоты \(q\). Тогда уравнение теплового баланса для нагревания объёма воды \(V\) даёт \[Pt_1 = Q + q.\] Во втором случае нагревается тот же чайник и в полтора раза большее количество воды, поэтому \[Pt_2 = \dfrac{3}{2}Q + q.\] Решая эту систему уравнений относительно \(Q\) и \(q\), получим \[Q = 2P\left(t_2 - t_1\right), \qquad q = P\left(3t_1 - 2t_2\right).\] Рассмотрим нагревание втрое большего количества воды, чем в первом случае. Уравнение теплового баланса даёт \[Pt_3 = 3Q + q,\] где \(t_3\) — время нагрева чайника с объёмом воды \(3V\). Подставляя в эту формулу величины \(Q\) и \(q\), получим \[t_3 = 4t_2 - 3t_1 = 13\text{ мин}.\]

Подсказка

Нити проходят через подвижные блоки: выразите связь ускорений грузов через перемещения концов нитей. Для невесомого блока сумма сил на нём равна нулю.

Ответ

Груз массой \(3m\) движется с ускорением \(\dfrac{g}{19}\) вверх, груз массой \(m\) — с ускорением \(\dfrac{4g}{19}\) вниз.

Решение

Силы, действующие на тела, показаны на рисунке: две силы тяжести \(mg\) и \(3mg\) и силы натяжения нитей \(T_1\) и \(T_2\). Второй закон Ньютона для тел даёт \[ma_1 = T_1 - mg, \qquad 3ma_2 = 3mg - T_2,\] где \(a_1\) и \(a_2\) — ускорения тела массой \(m\) и тела массой \(3m\) (здесь проекции на ось, направленную вверх для меньшего тела и вниз для большего). Поскольку блоки невесомы, сумма сил, действующих на каждый из них, равна нулю. Поэтому сила натяжения нитей, прикреплённых к осям двух маленьких подвижных блоков, равна \(2T_1\), а сила натяжения нити, прикреплённой к большому телу, \(T_2 = 4T_1\).

Установим связь ускорений. Если маленькое тело опустится вниз на величину \(\Delta x\), то нить справа от самого левого блока укоротится на \(\Delta x\). Это приведёт к подъёму двух маленьких подвижных блоков на \(\Delta x/4\) каждого. Следовательно, большой груз поднимется на величину \(\Delta x/4\). Поэтому скорость маленького тела в любой момент времени вчетверо больше скорости большого, и ускорение \(a_1 = 4a_2\).

В результате система уравнений становится такой: \[4ma_2 = T_1 - mg, \qquad 3ma_2 = 3mg - 4T_1.\] Решая её, найдём \[a_2 = -\dfrac{g}{19}.\] Это значит, что больший груз будет двигаться с ускорением \(g/19\), направленным вверх, а меньший груз — с ускорением \(4g/19\), направленным вниз.

Подсказка

Для малого участка пути движение можно считать равноускоренным: как связаны \(v_к^2 - v_н^2\) и \(a\,\Delta S\) на таком участке? Что даст их сумма по всему пути?

Ответ

\(v_1 = \sqrt{v_0^2 + \dfrac{3}{2}a_0S_0}\).

Решение

Разобьём весь путь \(S_0/2\) на малые участки, настолько малые, что движение тела на каждом из них можно считать равноускоренным. Для равноускоренного движения в одном направлении справедливо соотношение \[\dfrac{v_к^2}{2} - \dfrac{v_н^2}{2} = a\,\Delta S,\] где \(v_к\) и \(v_н\) — скорость тела в конце и в начале рассматриваемого участка пути, \(a\) — проекция ускорения на ось движения (\(a > 0\)), \(\Delta S\) — пройденный путь. Такие же соотношения справедливы для любого участка, причём конечная скорость одного участка является начальной для следующего. Сложив эти формулы для всех участков, получим, что квадраты скоростей сокращаются: \[\dfrac{v_1^2}{2} - \dfrac{v_0^2}{2} = a_1\Delta S_1 + a_2\Delta S_2 + a_3\Delta S_3 + \dots,\] где \(v_1\) — искомая скорость тела при прохождении им пути \(S_0/2\). Сумма в правой части равна площади под графиком зависимости ускорения от пройденного пути в пределах от нуля до \(S_0/2\). Эта фигура — трапеция, её площадь равна \[a_1\Delta S_1 + a_2\Delta S_2 + \dots = \dfrac{a_0 + 2a_0}{2}\cdot\dfrac{S_0}{2} = \dfrac{3}{4}a_0S_0.\] Отсюда находим конечную скорость тела \[v_1^2 = v_0^2 + \dfrac{3}{2}a_0S_0.\]