Росатом, 2025/26, отборочный этап, 9 класс

Условие плавания: сила тяжести тела равна весу вытесненной жидкости. Выразите плотности жидкостей через плотность тела и доли погружения.

\(r = \dfrac{2nk}{n+k} = \dfrac{2}{7}\) объёма.

Пусть масса тела \(m\), объём — \(V\), плотности первой и второй жидкостей \(\rho_1\) и \(\rho_2\). Условия плавания тела в первой и второй жидкостях дают \[mg = \rho_1 g n V, \qquad mg = \rho_2 g k V .\] Отсюда плотности жидкостей \[\rho_1 = \frac{m}{nV}, \qquad \rho_2 = \frac{m}{kV} .\] Условие плавания этого же тела в жидкости с плотностью \(\dfrac{\rho_1 + \rho_2}{2}\): \[mg = \frac{\rho_1 + \rho_2}{2}\, g\, r V ,\] где \(r\) — доля объёма тела, погружённая в эту жидкость. Подставляя плотности, \[r = \frac{2nk}{n + k} = \frac{2}{7} .\]

Мощность в кольце равна \(I^2R\), где \(R\) — сопротивление кольца при данном включении. Найдите сопротивления кольца в обоих случаях как сопротивления параллельно соединённых дуг.

\(P_2 = \dfrac{9}{8}\,P_1 = 126\) Вт.

При включении кольца в цепь двумя точками получаем участок цепи, образованный двумя дугами кольца между точками включения, соединёнными параллельно. По закону Джоуля–Ленца мощность \[P = I^2 R ,\] где \(I\) — сила тока, втекающего в кольцо, \(R\) — сопротивление кольца при данном включении. Поскольку в обоих включениях ток одинаков, отношение мощностей равно отношению сопротивлений: \[\frac{P_1}{P_2} = \frac{R_1}{R_2} ,\] где \(R_1\) и \(R_2\) — сопротивления кольца при первом (левый рисунок) и втором (правый рисунок) включениях.

Пусть сопротивление провода кольца равно \(r\). В первом случае дуги имеют сопротивления \(r_1 = \dfrac{1}{3}r\) и \(r_2 = \dfrac{2}{3}r\), поэтому \[R_1 = \frac{r_1 r_2}{r_1 + r_2} = \frac{2}{9}\,r .\] Во втором случае \(r_1 = \dfrac{1}{2}r\) и \(r_2 = \dfrac{1}{2}r\), поэтому \[R_2 = \frac{r_1 r_2}{r_1 + r_2} = \frac{1}{4}\,r .\] Отсюда \(\dfrac{P_1}{P_2} = \dfrac{8}{9}\) и \[P_2 = \frac{9}{8}\,P_1 = 126~\text{Вт} .\]

Продолжительность гудка для наблюдателя равна времени между приходом звука его начала и конца. Запишите это время для движения поезда от станции и к станции, учитывая, что за время гудка \(T\) поезд проходит расстояние \(vT\).

\(T = \dfrac{1}{3}\,(2T_1 + T_2)\).

Продолжительность гудка при движении поезда от станции увеличивается, потому что начало гудка испускается поездом, находящимся ближе к станции, а конец — поездом, находящимся дальше.

Пусть поезд движется от станции, и гудок начинается, когда поезд находился на расстоянии \(l\) от станции. Звук начала гудка дойдёт до обходчика через время \(t = \dfrac{l}{c}\) (\(c\) — скорость звука в воздухе). Пусть \(T\) — продолжительность гудка. За это время поезд окажется на расстоянии \(l + vT\) от станции, поэтому звук окончания гудка придёт к обходчику через время \[t_1 = T + \frac{l + vT}{c} = T + t + \frac{v}{c}\,T\] после начала гудка. Продолжительность гудка для обходчика равна \[T_1 = t_1 - t = T + \frac{v}{c}\,T .\] Аналогично, при движении поезда к станции со скоростью \(2v\): \[T_2 = T - \frac{2v}{c}\,T .\] Умножая первое равенство на 2 и складывая со вторым, получим \[T = \frac{1}{3}\,(2T_1 + T_2) .\]

Запишите уравнение теплового баланса для каждой пары тел и выразите первоначальные температуры через \(T_{12}\), \(T_{13}\), \(T_{23}\). Затем запишите баланс для всех трёх тел.

\(T_x = \dfrac{1}{4}\,T_{12} + \dfrac{3}{8}\,(T_{13} + T_{23})\).

Пусть первоначальные температуры тел равны \(t_1\), \(t_2\) и \(t_3\). Тогда для установившихся температур \[2T_{12} = t_1 + t_2, \qquad 3T_{13} = t_1 + 2t_3, \qquad 3T_{23} = t_2 + 2t_3 .\] Решая эту систему, получим \[t_1 = \frac{3}{2}\,(T_{13} - T_{23}) + T_{12}, \quad t_2 = \frac{3}{2}\,(T_{23} - T_{13}) + T_{12}, \quad t_3 = \frac{3}{4}\,(T_{13} + T_{23}) - \frac{1}{2}\,T_{12} .\] Установившаяся температура при контакте всех трёх тел (теплоёмкости \(C\), \(C\), \(2C\)): \[T_x = \frac{1}{4}\,(t_1 + t_2) + \frac{1}{2}\,t_3 ,\] что после подстановки даёт \[T_x = \frac{1}{4}\,T_{12} + \frac{3}{8}\,(T_{13} + T_{23}) .\]

Нить нерастяжима, поэтому проекции ускорений тел на направление нити одинаковы. Запишите второй закон Ньютона для большего тела по вертикали и для меньшего тела вдоль нити.

\(a_{2m} = \dfrac{g\,(2 - \cos\alpha)}{3}\);  \(a_m = \dfrac{g}{3}\sqrt{9\sin^2\alpha + (2 - \cos\alpha)^2}\).

На тела действуют силы тяжести и силы натяжения нити. Второй закон Ньютона: \[2ma = 2mg - T, \qquad ma = T - mg\cos\alpha ,\] где \(a\) — ускорение тела \(2m\) вдоль вертикали, а для тела \(m\) проекция ускорения на нить такая же, так как нить нерастяжима и в начальный момент тела покоились (скорости пропорциональны ускорениям, и проекции скоростей тел на нить одинаковы).

Решая систему, получим \[a = \frac{g\,(2 - \cos\alpha)}{3}, \qquad T = \frac{2}{3}\,mg\,(1 + \cos\alpha) .\] Ускорение тела массой \(m\) перпендикулярно нити \(a_\perp = g\sin\alpha\), так как из сил на эту ось действует только сила тяжести. Поэтому \[a_{2m} = a = \frac{g\,(2 - \cos\alpha)}{3}, \qquad a_m = \sqrt{(g\sin\alpha)^2 + a^2} = \frac{g}{3}\sqrt{9\sin^2\alpha + (2 - \cos\alpha)^2} .\]