Росатом, 2025/26, заключительный этап, 11 класс

Подсказка

Может ли вся вода в сосуде оказаться насыщенным паром при температуре кипения? Сравните массу, которая соответствовала бы насыщенному пару, с массой воды в сосуде. Парциальное давление гелия — разность полного давления и давления пара.

Ответ

\(\nu_{He} \approx 1{,}47\) моль.

Решение

Исследуем сначала, в каком состоянии находится вода в сосуде — пар или жидкость. Поскольку состояние газов в сосуде равновесное, жидкая вода может находиться там только при условии, что водяной пар насыщенный. Давление насыщенного водяного пара при температуре кипения воды равно атмосферному давлению \(p_а\). Уравнение Клапейрона–Менделеева для водяного пара при этом даёт \[p_а V = \dfrac{m_1}{M}RT, \qquad m_1 = \dfrac{p_а V M}{RT} \approx 23{,}2\text{ г},\] где \(T = 373\) К. В сосуде же только \(m = 20\) г воды. Значит, вся жидкая вода испарится и в сосуде будет ненасыщенный пар. Его давление \[p_в = \dfrac{mRT}{MV}.\] Парциальное давление гелия \(p_г = p - p_в = p - \dfrac{mRT}{MV}\), поэтому количество вещества гелия \[\nu = \dfrac{p_г V}{RT} = \dfrac{pV}{RT} - \dfrac{m}{M} \approx 1{,}47\text{ моль}.\]

Подсказка

Нить очень длинная, поэтому горизонтальная проекция импульса системы сохраняется. Какие точки стержня движутся в противоположные стороны и во сколько раз быстрее друг друга? Закон сохранения энергии даёт связь со скоростью.

Ответ

\(v_A = v_B = \sqrt{\dfrac{4gl}{3}}\) (точка \(A\) движется вправо, \(B\) — влево); \(v_C = 2\sqrt{\dfrac{4gl}{3}}\) (точка \(C\) движется влево).

Решение

Поскольку нить очень длинная, при движении стержня она отклоняется только на очень малые углы от вертикали. На систему «стержень–тела» действуют только вертикальные внешние силы — сила тяжести и сила натяжения нити. Поэтому проекция импульса системы на горизонтальное направление равна нулю в любой момент времени. Значит, скорости точек \(A\) и \(B\) в тот момент, когда стержень проходит низшее положение, равны по величине и направлены противоположно: скорость точки \(A\) направлена вправо, точки \(B\) — влево. Движение стержня — вращение вокруг его центра масс (точки посередине между \(A\) и \(B\)), а расстояние от \(C\) до центра масс вдвое больше расстояния от \(B\) до центра масс, поэтому скорость \(C\) вдвое больше скорости \(B\): \[v_A = v_B = v, \qquad v_C = 2v.\] Для нахождения \(v\) используем закон сохранения энергии. Тело в \(A\) опустилось на \(l\), тело в \(B\) — на \(l/3\): \[\dfrac{mv^2}{2} + \dfrac{mv^2}{2} = mg\dfrac{l}{3} + mgl,\] откуда \[v_A = v_B = \sqrt{\dfrac{4gl}{3}}, \qquad v_C = 2\sqrt{\dfrac{4gl}{3}}.\]

Подсказка

Дополните кольцо до целого проводником той же длины: напряжение на целом кольце равно нулю. Скорость точки кольца в неподвижной системе — векторная сумма скорости центра и скорости вращения по касательной к кольцу.

Ответ

\(U = Bv\,\Delta l\,\sin\alpha\); точка \(A\) заряжена отрицательно, точка \(B\) — положительно.

Решение

Если бы кольцо было целым, напряжение между любыми его точками равнялось бы нулю. Поэтому, если дополнить кольцо до целого, напряжения на малом промежутке \(AB\) и на большом (то есть на нашем разрезанном кольце) одинаковы по величине и противоположны по знаку. Рассмотрим движение малого проводника длиной \(\Delta l\), дополняющего кольцо до целого, в перпендикулярном магнитном поле. Для напряжения на проводнике длиной \(\Delta l\), движущемся со скоростью \(\vec v_{\Delta l}\) в перпендикулярном магнитном поле, имеем \[U = B\,v_{\Delta l}\,\Delta l\cos\varphi,\] где \(\varphi\) — угол между скоростью и перпендикуляром к проводнику.

Скорости точек катящегося без проскальзывания кольца можно найти как векторную сумму вектора \(\vec v\) скорости центра кольца и вектора с модулем \(v\), направленным по касательной к кольцу. Треугольник сложения скоростей равнобедренный, с углом при вершине \(\alpha\), поэтому \[v_{\Delta l} = 2v\sin\dfrac{\alpha}{2}, \qquad \varphi = \dfrac{\alpha}{2}.\]

Отсюда \[U = Bv\cdot 2\Delta l\sin\dfrac{\alpha}{2}\cos\dfrac{\alpha}{2} = Bv\,\Delta l\sin\alpha.\] Для прямого проводника, движущегося со скоростью \(\vec v_{\Delta l}\), сила Лоренца, действующая на положительные заряды, направлена к \(A\), а на отрицательные — к \(B\) (поле направлено за чертёж). Поэтому конец проводника \(A\) заряжен положительно, \(B\) — отрицательно. Для промежутка кольца ситуация обратная.

Ответ: напряжение на промежутке кольца \(AB\) равно \(U = Bv\,\Delta l\sin\alpha\); точка \(A\) заряжена отрицательно, точка \(B\) — положительно.

Подсказка

Выразите расстояние от центра полушара до шарнира через угол наклона стержня: треугольник «центр полушара – точка касания – шарнир» прямоугольный. Дальше — производная по времени и разложение ускорения на нормальную и тангенциальную составляющие.

Ответ

\(v_1 = \dfrac{vl\sin^2\alpha}{R\cos\alpha}\); при \(\alpha = 45^\circ\): \(v_1 = \dfrac{vl}{\sqrt2\,R}\). Ускорение конца стержня при \(\alpha = 45^\circ\): \(a = \sqrt{\dfrac{5}{2}}\,\dfrac{v^2l}{R^2}\).

Решение

Пусть расстояние от центра полушара до шарнира в некоторый момент, условно взятый за начальный, равно \(l_0\), а после этого прошло время \(t\). Тогда расстояние от центра полушара до шарнира равно \(l_0 - vt\). Треугольник \(OBA\) в любой момент прямоугольный, поэтому для синуса угла наклона стержня к поверхности \[\sin\alpha = \dfrac{R}{l_0 - vt}.\] Дифференцируя по времени, получим \[\cos\alpha\,\dfrac{d\alpha}{dt} = \dfrac{Rv}{(l_0-vt)^2} = \dfrac{v}{R}\sin^2\alpha,\] откуда угловая скорость стержня \[\omega = \dfrac{d\alpha}{dt} = \dfrac{v\sin^2\alpha}{R\cos\alpha},\] а линейная скорость конца стержня \[v_1 = \omega l = \dfrac{vl\sin^2\alpha}{R\cos\alpha}.\] Нормальное ускорение конца стержня \[a_n = \omega^2 l = \dfrac{v^2 l\sin^4\alpha}{R^2\cos^2\alpha}.\] Тангенциальное ускорение найдём, дифференцируя модуль скорости: \[a_\tau = \dfrac{dv_1}{dt} = \dfrac{vl}{R}\cdot\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{\sin^2\alpha}{\cos\alpha}\right) = \dfrac{vl\sin\alpha}{R\cos^2\alpha}\left(1+\cos^2\alpha\right)\dfrac{d\alpha}{dt} = \dfrac{v^2 l\sin^3\alpha}{R^2\cos^3\alpha}\left(1+\cos^2\alpha\right).\] Полное ускорение \[a = \sqrt{a_n^2 + a_\tau^2} = \dfrac{v^2 l\sin^3\alpha}{R^2\cos^3\alpha}\sqrt{\sin^2\alpha\cos^2\alpha + \left(1+\cos^2\alpha\right)^2}.\] Для \(\alpha = 45^\circ\) имеем \(a = \sqrt{\dfrac{5}{2}}\,\dfrac{v^2 l}{R^2}\).

Официальное решение приводит и второй способ — без дифференцирования, через малый поворот стержня за время \(\Delta t\) в системе отсчёта полушара; результат тот же: \(\omega = \dfrac{v\sin^2\alpha}{R\cos\alpha}\).

Подсказка

Пока нить не натянута, тела движутся равномерно и прямолинейно. Найдите угол между скоростью тела и нитью в момент натяжения: при каком угле это происходит? Что меняется при натяжении нити, а что нет?

Ответ

Каждое тело движется по сторонам равностороннего треугольника со стороной \(a = \sqrt3\,l\) (см. рисунок в решении). Длина траектории каждого тела \(3a = 3\sqrt3\,l\), время прохождения всей траектории \(t = \dfrac{3\sqrt3\,l}{v}\).

Решение

Пока тела не натянут нить, они движутся прямолинейно и равномерно. Нить натянется, когда углы между скоростями тел и соединяющей их прямой станут равны \(30^\circ\). Действительно, в момент натягивания нити в треугольнике, образованном начальным положением тела, его положением в момент натягивания нити и центром масс тел \(O\) (который не должен двигаться, поскольку суммарный импульс системы равен нулю), угол равен \(30^\circ\).

В момент натягивания нити кратковременно возникает сила натяжения, которая меняет составляющие скоростей тел, направленные вдоль нити, но не меняет перпендикулярные составляющие. Для составляющих, параллельных нити, выполняются законы сохранения импульса и энергии (вдоль нити). Решая их, получаем два набора корней. Первый отвечает отсутствию взаимодействия, поэтому подходит второй: после натягивания нити составляющие скоростей тел, параллельные нити, меняют знак, то есть тела начинают двигаться навстречу друг другу. Перпендикулярные нити составляющие скоростей не меняются, поэтому тела будут двигаться под углом \(30^\circ\) к натянутой нити, но с другой стороны от неё. Далее нить провисает, и тела движутся свободно до нового натягивания.

При каждом натягивании нити тела обмениваются составляющими скоростей вдоль нити, а перпендикулярные составляющие сохраняются. В результате каждое тело движется по сторонам равностороннего треугольника с постоянной по модулю скоростью, а скорости меняются только в точках натягивания нити. Последовательные положения тел образуют два пересекающихся равносторонних треугольника (шестиконечная звезда), см. рисунок.

Геометрически очевидно, что каждая сторона треугольника равна \[a = 2l\cos30^\circ = \sqrt3\,l.\] Поэтому длина траектории каждого тела равна \(3a = 3\sqrt3\,l\), и тела проходят всю траекторию за время \[t = \dfrac{3\sqrt3\,l}{v}.\]