Росатом, 2025/26, заключительный этап, 7 класс

Масса тела складывается из массы стекла и массы ртути, каждая равна произведению плотности на объём. Найдите объём стекла, оставшийся после заполнения полости.

\(\rho_{ст} = \dfrac{M}{14a^3} - \dfrac{\rho_{рт}}{7} \approx 2{,}61\ \text{г/см}^3\).

Габаритный объём стекла \(V = 16a^3\). Объём полости \(v = 2a^3\). Поэтому, когда полость полностью заполнена ртутью, тело состоит из стекла объёмом \(V_{ст} = V - v = 14a^3\) и ртути объёмом \(V_{рт} = v = 2a^3\). Следовательно, масса тела равна \[M = 2a^3\rho_{рт} + 14a^3\rho_{ст} .\] Отсюда находим плотность стекла \[\rho_{ст} = \frac{M - 2a^3\rho_{рт}}{14a^3} = \frac{M}{14a^3} - \frac{\rho_{рт}}{7} \approx 2{,}61\ \text{г/см}^3 .\]

Найдите время, за которое первый гонец доедет до князя, и расстояние, на которое за это время сместится корабль. Затем повторите расчёт для второго гонца, у которого начальное расстояние до князя меньше на \(v\,\Delta t\).

\(\Delta\tau = \dfrac{3}{5}\,\Delta t\).

Пусть один гонец отправляется в тот момент, когда расстояние от корабля царя Салтана до города князя Гвидона равно \(l\). Тогда этот гонец доедет до князя за время \(t = \dfrac{l}{4v}\). Корабль царя Салтана за это время проедет расстояние \(\Delta l = vt = \dfrac{l}{4}\). Значит, расстояние между гонцом и царём Салтаном в этот момент будет составлять \(l_1 = l - \Delta l = \dfrac{3}{4}l\).

Развернувшийся гонец прибудет к кораблю царя Салтана через время \[t' = \frac{\frac{3l}{4}}{v + 4v} = \frac{3l}{20v}\] после разворота, или через время \[t_1 = t + t' = \frac{2l}{5v}\] после старта. Таким образом, первый гонец возвратится через время \(t_1\) после своего старта.

Найдём теперь время возвращения второго гонца. Поскольку второй гонец отправится через время \(\Delta t\) после первого, расстояние между царём Салтаном и Гвидоном в этот момент составляет \(l' = l - v\,\Delta t\). Поэтому время возвращения второго гонца (после своего старта) можно найти по той же формуле, если заменить в ней \(l\) на \(l'\): \[t_2 = \frac{2\left(l - v\,\Delta t\right)}{5v} .\] Второй гонец возвратится через время \(t_2\) после своего старта, или через время \(\Delta t + t_2\) после старта первого. Поэтому интервал времени между возвращениями гонцов равен \[\Delta\tau = \left(\Delta t + t_2\right) - t_1 = \Delta t - \frac{2\,\Delta t}{5} = \frac{3}{5}\,\Delta t .\]

Масса пружин равна нулю, значит, сила упругости во всех пружинах одинакова. Сумма удлинений всех пружин равна перемещению точки \(C\).

\(v_A = \dfrac{6}{11}\,v\);  \(v_B = \dfrac{9}{11}\,v\).

При смещении конца правой пружины она растягивается, и в ней возникает сила упругости, которая растягивает вторую пружину. Поэтому и во второй пружине возникнет сила упругости, растягивающая ближайшую к стенке пружину.

Поскольку масса пружин равна нулю, сумма сил, действующих на каждую пружину, должна равняться нулю, поэтому сила упругости всех трёх пружин должна быть одинаковой. Следовательно, для удлинений пружин справедливы соотношения, следующие из закона Гука: \[k\,l_k = 2k\,l_{2k} = 3k\,l_{3k} ,\] где \(l_k\), \(l_{2k}\) и \(l_{3k}\) — удлинения пружин с коэффициентами жёсткости \(k\), \(2k\) и \(3k\) соответственно. Из этой формулы следует, что удлинения пружин с жёсткостью \(2k\) и \(3k\) в два и три раза меньше удлинения пружины с жёсткостью \(k\): \[l_{2k} = \frac{1}{2}\,l_k, \qquad l_{3k} = \frac{1}{3}\,l_k .\] С другой стороны, сумма удлинений всех трёх пружин равна перемещению конца пружины \(C\), который тянут со скоростью \(v\). Поэтому для удлинений пружин к моменту времени \(t\) имеем \[l_k + l_{2k} + l_{3k} = vt .\] Из этого уравнения находим \[l_k = \frac{6vt}{11}, \qquad l_{2k} = \frac{3vt}{11}, \qquad l_{3k} = \frac{2vt}{11} .\] Точка \(A\) за время \(t\) переместилась на расстояние \(l_k\), поэтому её скорость равна \(v_A = \dfrac{6}{11}\,v\). Точка \(B\) за это время переместилась на расстояние, равное сумме удлинений пружины с жёсткостью \(k\) и пружины с жёсткостью \(2k\): \(x_B = l_k + l_{2k} = \dfrac{9vt}{11}\). Отсюда её скорость \(v_B = \dfrac{9}{11}\,v\).

Средняя скорость на участке от старта до \(S\) равна \(S\), делённому на время движения за это время. По графику найдите время движения до \(S = 1\) км и до \(S = 5\) км.

\(v_{ср} = 120\ \text{км/ч}\).

До расстояния \(1\) км средняя скорость как функция пройденного расстояния не изменялась, как следует из графика. Это значит, что этот участок пути Незнайка проехал с постоянной скоростью. Далее его скорость начала меняться. Найдём среднюю скорость Незнайки на участке пути от \(1\) км до \(5\) км от Цветочного города. Средняя скорость на этом участке пути — это отношение расстояния (\(4\) км) ко времени, затраченному на его прохождение.

Это время можно найти так. Средняя скорость Незнайки на расстоянии \(5\) км равна \(60\) км/ч по графику. Следовательно, на прохождение этих 5 км Незнайка затратил время \[t_5 = \frac{5\ \text{км}}{60\ \text{км/ч}} \approx 0{,}0833\ \text{ч} .\] На прохождение первого километра, который Незнайка проехал с постоянной скоростью \(20\) км/ч, он затратил время \[t_1 = \frac{1\ \text{км}}{20\ \text{км/ч}} = 0{,}05\ \text{ч} .\] Значит, на прохождение четырёх километров он затратил время \[t = t_5 - t_1 \approx 0{,}0333\ \text{ч} .\] И, следовательно, его средняя скорость на участке пути от 1 км до 5 км составляет \[v_{ср} = \frac{4\ \text{км}}{0{,}0333\ \text{ч}} = 120\ \text{км/ч} .\]

Подумайте, какой кусок должен быть отрезан, чтобы средняя плотность каждого тела росла. Средняя плотность отрезанного куска должна лежать между плотностями тел.

Да, возможна; средняя плотность кусочка \(\rho_0 = \dfrac{31}{20}\,\rho = 1{,}55\,\rho\).

Такая ситуация возможна. Тела неоднородны, у них есть кусочки со средней плотностью, большей и меньшей их средней плотности. Поэтому если отрезать от тела со средней плотностью \(2\rho\) кусочек с плотностью, меньшей его средней плотности, то средняя плотность этого тела возрастёт. Если эта плотность будет больше средней плотности второго тела \(\rho\), то и у второго тела возрастёт средняя плотность. Найдём плотность отрезанного кусочка, при которой возрастание плотности первого и второго тела будет одинаковым.

Пусть объём каждого тела равен \(V\). Тогда их массы равны \(m_1 = 2\rho V\), \(m_2 = \rho V\). Объём отрезанного кусочка равен \(V/10\). Пусть его плотность \(\rho_0\). Тогда масса этого кусочка \(\rho_0 V/10\). Следовательно, массы и объёмы тел после отрезания этого кусочка от первого и присоединения его ко второму равны \[m_1' = 2\rho V - \frac{\rho_0 V}{10}, \quad V_1' = \frac{9V}{10}, \qquad m_2' = \rho V + \frac{\rho_0 V}{10}, \quad V_2' = \frac{11V}{10} .\] Поэтому средние плотности тел после отрезания-добавления кусочка равны \[\rho_1' = \frac{2\rho - \rho_0/10}{9/10}, \qquad \rho_2' = \frac{\rho + \rho_0/10}{11/10} .\] Следовательно, средняя плотность первого тела возрастёт на \[\Delta\rho_1 = \rho_1' - 2\rho = \frac{2\rho - \rho_0}{9} ,\] а средняя плотность второго тела возрастёт на \[\Delta\rho_2 = \rho_2' - \rho = \frac{\rho_0 - \rho}{11} .\] Поскольку по условию эти два увеличения плотности должны быть равны, то \[\frac{2\rho - \rho_0}{9} = \frac{\rho_0 - \rho}{11} .\] Решая это уравнение, получим \[\rho_0 = \frac{31}{20}\,\rho = 1{,}55\,\rho .\] Как и ожидали, средняя плотность отрезанного кусочка меньше средней плотности первого тела и больше средней плотности второго.