Росатом, 2025/26, заключительный этап, 8 класс

Подсказка

Количество теплоты, которое отдаёт вода при остывании, равно количеству теплоты, нужному для отопления комнаты. Учтите, что в условии время дано в часах, а в ответе удобно перейти к секундам.

Ответ

\(\mu \approx 11{,}6\) г/с (то есть около \(42\) кг в час).

Решение

Уравнение теплового баланса для воды в батареях даёт \[q = \mu\,c\,(t_1 - t_2)\,T ,\] где \(c\) — удельная теплоёмкость воды, \(\mu\) — массовый расход воды в батареях (масса воды, проходящая через батарею в секунду), \(T = 3600\) с/ч — число секунд в одном часе. Отсюда находим \[\mu = \frac{q}{c\,(t_1 - t_2)\,T} \approx 11{,}6\ \text{г/с} .\]

Подсказка

Условие плавания связывает плотность яблока с долей его объёма под водой. Затем подумайте, зависит ли доля съеденного от того, какая часть яблока в данный момент находится в воде.

Ответ

Рыбы съели \(\dfrac{1}{4}\) яблока, птицы — \(\dfrac{3}{4}\); плотность яблока \(\rho = \dfrac{2}{3}\rho_0 \approx 0{,}67\) г/см\(^3\).

Решение

Сначала найдём плотность яблока. Так как по условию в воде находится две трети объёма яблока, условие его плавания даёт \[\rho\,g\,V = \rho_0\,g\,\frac{2}{3}V ,\] где \(\rho\) — плотность яблока, \(V\) — его объём. Отсюда \[\rho = \frac{2}{3}\rho_0 \approx 0{,}67\ \text{г/см}^3 .\]

Теперь рассмотрим процесс поедания яблока. Если бы кусали только рыбы, то они съели бы всё яблоко целиком, независимо от того, какая часть яблока находится в воде. Аналогично, если бы кусали только птицы, они съели бы его целиком, как бы ни выступала часть яблока из воды.

Если яблоко кусают и птицы, и рыбы, то независимо от того, сколько они съедят, одна треть яблока находится на воздухе, а две трети — в воде, не мешая ни птицам, ни рыбам есть яблоко. Поэтому то, сколько съедят птицы, а сколько рыбы, определяется только скоростью поедания, а не тем, какая часть яблока находится на воздухе, какая в воде. Значит, если рыбы съели массу \(m_{рыб}\), то птицы съели \(3m_{рыб}\) (их скорость поедания в три раза больше), что в сумме даёт массу яблока \(M\): \[m_{рыб} + 3m_{рыб} = M .\] Отсюда находим, что рыбы съели \(\dfrac{1}{4}M\), птицы съели \(\dfrac{3}{4}M\). Значит, рыбы съели одну четверть яблока, птицы — три четверти.

Подсказка

Запишите уравнение теплового баланса для каждого калориметра отдельно: холодная вода нагревается до итоговой температуры, горячая остывает до неё. Масса воды в калориметре пропорциональна его заполнению.

Ответ

Комнатная температура \(T_1 = 6t_1 - 5t_2 = 16^\circ\text{C}\); температура горячей воды \(T_2 = \dfrac{5t_2 - 3t_1}{2} = 76^\circ\text{C}\).

Решение

Пусть комнатная температура равна \(T_1\), температура горячей воды — \(T_2\), масса воды, вмещающейся в калориметр, равна \(m\). Поскольку в первый калориметр наливаем массу \(\frac{2}{3}m\) горячей воды, а во второй — \(\frac{4}{5}m\), уравнения теплового баланса для первого и второго калориметров дают \[\frac{1}{3}m\,c\,(t_1 - T_1) = \frac{2}{3}m\,c\,(T_2 - t_1), \qquad \frac{1}{5}m\,c\,(t_2 - T_1) = \frac{4}{5}m\,c\,(T_2 - t_2) .\] Решая эту систему уравнений, получим \[T_1 = 6t_1 - 5t_2 = 16^\circ\text{C}, \qquad T_2 = \frac{5t_2 - 3t_1}{2} = 76^\circ\text{C} .\]

Подсказка

Средняя скорость (по величине) равна модулю перемещения, делённому на время. Сравните модуль перемещения с длиной пройденного пути, чтобы понять, на какой стороне квадрата окажется муравей.

Ответ

\(v = \left(4 - \dfrac{2\sqrt{6}}{3}\right)\dfrac{a}{t} \approx 2{,}37\,\dfrac{a}{t}\).

Решение

Средней скоростью тела называется отношение вектора перемещения (вектора, соединяющего начальную и конечную точки) ко времени, за которое это перемещение совершено. Величина средней скорости — отношение модуля перемещения ко времени: \[v_{ср} = \frac{AX}{t} .\] Пусть точка старта муравья — вершина квадрата \(A\) (см. рисунок).

1) Если бы через время \(t\) муравей оказался на стороне \(AB\), его средняя скорость совпадала бы с его скоростью. А у нас это не так. Значит, на стороне \(AB\) муравей оказаться не может. 2) Если бы муравей оказался на стороне \(BC\), модуль его перемещения лежал бы в интервале от \(a\) до \(\sqrt{2}\,a\). При этом в точке \(B\) средняя скорость равнялась бы \(v\), а в точке \(C\) — \(v/\sqrt{2}\). Значит, \(v/\sqrt{2} \le v_{ср} \le v\), а у нас \(v_{ср} = v/2\), что не попадает в этот интервал. Значит, на стороне \(BC\) муравей тоже оказаться не может. 3) Если бы муравей оказался на стороне \(CD\), его средняя скорость лежала бы в интервале \(v/\sqrt{2} \approx v/1{,}41 \le v_{ср} \le v/3\). Заданная скорость \(v/2\) попадает в этот интервал. Значит, через время \(t\) муравей может оказаться на стороне \(CD\). 4) Если бы муравей оказался на стороне \(DA\), его средняя скорость лежала бы в интервале \(v/3 \le v_{ср} \le v/\infty\) (последняя граница отвечает ситуации, когда муравей приходит в начальную точку, и его перемещение и средняя скорость равны нулю).

Итак, через время \(t\) после начала движения муравей оказывается на стороне \(CD\). Найдём его перемещение. Поскольку средняя скорость муравья за это время в 2 раза меньше его скорости, длина отрезка \(AX\) в 2 раза меньше длины пути \(ABCX\). Если обозначить длину отрезка \(CX = x\), то для \(x\) получается уравнение \[\frac{ABCX}{2} = \sqrt{AD^2 + DX^2} \quad\Rightarrow\quad \left(2a + x\right) = 2\sqrt{a^2 + \left(a - x\right)^2} .\] Возводя это равенство в квадрат, получим квадратное уравнение относительно \(x\): \[3x^2 - 12ax + 4a^2 = 0 .\] Отсюда находим \[x_{1,2} = \frac{12a \pm \sqrt{144a^2 - 48a^2}}{6} = 2a\left(1 \pm \sqrt{\frac{2}{3}}\right) .\] Поскольку \(x\) меньше стороны квадрата, нужен корень со знаком минус.

Поэтому за время \(t\) муравей проходит путь \[S = ABCX = 2a + x = 4a - 2a\sqrt{\frac{2}{3}} = \left(4 - \frac{2\sqrt{6}}{3}\right)a ,\] а скорость муравья равна \[v = \frac{S}{t} = \left(4 - \frac{2\sqrt{6}}{3}\right)\frac{a}{t} .\]

Подсказка

Подумайте, какой кусок должен быть отрезан, чтобы средняя плотность каждого тела росла. Средняя плотность отрезанного куска должна лежать между плотностями тел.

Ответ

Да, возможна; средняя плотность кусочка \(\rho_0 = \dfrac{31}{20}\,\rho = 1{,}55\,\rho\).

Решение

Такая ситуация возможна. Тела неоднородны, у них есть кусочки со средней плотностью, большей и меньшей их средней плотности. Поэтому если отрезать от тела со средней плотностью \(2\rho\) кусочек с плотностью, меньшей его средней плотности, то средняя плотность этого тела возрастёт. Если эта плотность будет больше средней плотности второго тела \(\rho\), то и у второго тела возрастёт средняя плотность. Найдём плотность отрезанного кусочка, при которой возрастание плотности первого и второго тела будет одинаковым.

Пусть объём каждого тела равен \(V\). Тогда их массы равны \(m_1 = 2\rho V\), \(m_2 = \rho V\). Объём отрезанного кусочка равен \(V/10\). Пусть его плотность \(\rho_0\). Тогда масса этого кусочка \(\rho_0 V/10\). Следовательно, массы и объёмы тел после отрезания этого кусочка от первого и присоединения его ко второму равны \[m_1' = 2\rho V - \frac{\rho_0 V}{10}, \quad V_1' = \frac{9V}{10}, \qquad m_2' = \rho V + \frac{\rho_0 V}{10}, \quad V_2' = \frac{11V}{10} .\] Поэтому средние плотности тел после отрезания-добавления кусочка равны \[\rho_1' = \frac{2\rho - \rho_0/10}{9/10}, \qquad \rho_2' = \frac{\rho + \rho_0/10}{11/10} .\] Следовательно, средняя плотность первого тела возрастёт на \[\Delta\rho_1 = \rho_1' - 2\rho = \frac{2\rho - \rho_0}{9} ,\] а средняя плотность второго тела возрастёт на \[\Delta\rho_2 = \rho_2' - \rho = \frac{\rho_0 - \rho}{11} .\] Поскольку по условию эти два увеличения плотности должны быть равны, то \[\frac{2\rho - \rho_0}{9} = \frac{\rho_0 - \rho}{11} .\] Решая это уравнение, получим \[\rho_0 = \frac{31}{20}\,\rho = 1{,}55\,\rho .\] Как и ожидали, средняя плотность отрезанного кусочка меньше средней плотности первого тела и больше средней плотности второго.