ВсОШ, 2018/19, региональный этап, 9 класс, теоретический тур

Подсказка

Постройте график изменения скорости \(\Delta\upsilon_x(t)\) для одной частицы. Площадь под графиком равна пути. Где может быть ровно одна остановка?

Ответ

\(\tau = 1{,}6\) с;  \(S_1 = 1{,}36\) м;  \(S_2 = 1{,}2\) м.

Решение

Обозначим за \(t_0\) и \(a\) время движения и ускорение на первом участке. Построим график изменения скорости от времени \(\Delta\upsilon(t)\). Отметим, что единственная остановка (\(\upsilon = 0\)) за время наблюдения будет, если сместить график на \(\upsilon_0 = \pm a t_0\). В других случаях будет две или три остановки.

Совместим на одном графике две площади, соответствующие путям двух частиц. Вычисление площадей даст: \[S_1 = 4{,}25\,a t_0^2, \qquad S_2 = 3{,}75\,a t_0^2, \qquad \Delta S = 0{,}5\,a t_0^2 = 16~\text{см}.\]

Откуда \(t_0 = 0{,}4\) с, всё время движения \(\tau = 4 t_0 = 1{,}6\) с; \(S_1 = 1{,}36\) м; \(S_2 = 1{,}2\) м.

Подсказка

Показания весов растут на величину силы Архимеда, то есть на массу вытесненной воды. Запишите баланс теплоты при намерзании льда и отдельно — изменение показаний весов после таяния всего льда.

Ответ

\(m_{\text{л}} = 90\) г;  \(m_{\text{c}} \approx 10{,}1\) г;  \(\Delta m_{\text{л}} \approx 28{,}4\) г;  \(t \approx -49{,}9\,^\circ\)C.

Решение

Показания весов при погружении тела на нити увеличиваются за счёт силы Архимеда, действующей на это тело. Поэтому сразу после опускания шарика со льдом в воду \[m_2 = m_1 + \left(\frac{m_{\text{c}}}{\rho_{\text{с}}} + \frac{m_{\text{л}}}{\rho_{\text{л}}}\right)\rho_{\text{в}}. \qquad (1)\]

После установления теплового равновесия показания весов увеличились из-за дополнительно намёрзшего льда массой \(\Delta m_{\text{л}}\). При этом в сосуде устанавливается температура \(0\,^\circ\)C и можно записать уравнение теплового баланса: \[\Delta m_{\text{л}}\,\lambda + (c_{\text{с}} m_{\text{с}} + c_{\text{л}} m_{\text{л}})\,t = 0. \qquad (2)\] Показания весов при этом увеличатся: \[m_3 - m_2 = \frac{\rho_{\text{в}} - \rho_{\text{л}}}{\rho_{\text{л}}}\,\Delta m_{\text{л}}. \qquad (3)\]

После того как весь лёд растает, показания весов по сравнению с \(m_2\) уменьшатся из-за уменьшения силы Архимеда, но увеличатся за счёт увеличения количества воды на \(m_{\text{л}}\): \[m_2 - m_4 = \frac{\rho_{\text{в}} - \rho_{\text{л}}}{\rho_{\text{л}}}\,m_{\text{л}}. \qquad (4)\]

Из (4) получаем начальную массу льда: \[m_{\text{л}} = (m_2 - m_4)\,\frac{\rho_{\text{л}}}{\rho_{\text{в}} - \rho_{\text{л}}} = 90~\text{г}.\] Из (1) находим массу стального шарика: \[m_{\text{с}} = \rho_{\text{с}}\left(\frac{m_2 - m_1}{\rho_{\text{в}}} - \frac{m_{\text{л}}}{\rho_{\text{л}}}\right) \approx 10{,}1~\text{г}.\] Из (3) находим массу дополнительно намёрзшего льда: \[\Delta m_{\text{л}} = (m_3 - m_2)\,\frac{\rho_{\text{л}}}{\rho_{\text{в}} - \rho_{\text{л}}} \approx 28{,}4~\text{г}.\] Наконец, из (2) определим начальную температуру льда и шарика: \[t = -\frac{\Delta m_{\text{л}}\,\lambda}{c_{\text{с}} m_{\text{с}} + c_{\text{л}} m_{\text{л}}} \approx -49{,}9\,^\circ\text{C}.\]

Подсказка

Подумайте, что произойдёт с цепью, если вольтметр или амперметр поставить в каждое из трёх мест: разомкнётся ли цепь, закоротится ли вольтметр?

Ответ

Положения 1 и 3 — амперметры, положение 2 — вольтметр; показания второго амперметра \(1{,}0\) мА; \(R = 600\) Ом, \(2R = 1200\) Ом; \(U_0 = 1{,}8\) В.

Решение

Прежде всего определим, где какой прибор подключён. Если в положении «1» будет стоять идеальный вольтметр, то цепь будет разомкнута и показания амперметров будут нулевыми, что не удовлетворяет условиям задачи. Значит, в положении «1» стоит амперметр. Теперь, если в положение «3» поставить вольтметр, а в «2» поставить другой амперметр, то последний закоротит участок цепи с вольтметром. Тогда показания вольтметра будут нулевыми, что не удовлетворяет условиям задачи.

Значит, правильная схема приведена на нижнем рисунке.

В этой схеме амперметры подключены последовательно. Это означает, что их показания одинаковы и равны общему току в цепи: \(I_{A1} = I_{A2} = I = 1{,}0\) мА.

Такой же ток течёт через резистор \(2R\), напряжение на нём показывает вольтметр. По закону Ома \(2R = \dfrac{U}{I} = 1200\) Ом, и \(R = 600\) Ом.

Сила тока через резистор \(R\) также равна \(I\), следовательно, падение напряжения на нём \(U_R = IR = 0{,}6\) В.

Напряжение источника равно сумме падений напряжений на резисторах: \(U_0 = U_R + U_{2R} = 1{,}8\) В.

Подсказка

Сначала проследите ход луча \(L_1\), который нормально входит в призму и поэтому не преломляется. Затем сравните четырёхугольники с одинаковыми суммами углов, как для \(L_1\) и для \(L_2\).

Ответ

\(\beta = \alpha\) (ответ не зависит от показателя преломления стекла).

Решение

Построим ход \(L_1\). Нормально падающие лучи не преломляются на границе раздела сред. Значит, ход лучей симметричен относительно \(OO_1\), и луч дважды пересекает эту линию в точке \(E\). Треугольник \(BEC\) прямоугольный и равнобедренный, значит, углы \(EBC\) и \(ECB\) по \(45^\circ\), и углы падения и отражения лучей на гранях будут по \(\gamma_{\text{п}} = 22{,}5^\circ\). Тогда из четырёхугольника \(EBO_1C\) угол \(\gamma = 45^\circ\).

Построим ход отклонённого луча. Отметим, что сумма углов \(AB_1C_1\) и \(DC_1B_1\) равна сумме углов \(ABC\) и \(DCB\) (сумма углов в четырёхугольниках одинакова). Следовательно, сумма углов \(E_1B_1O_1\) и \(E_1C_1O_1\) равна сумме углов \(EBO_1\) и \(ECO_1\). Значит, лучи по-прежнему пересекаются в призме под прямыми углами.

С учётом сказанного, принимая во внимание равенство суммы углов в «серых» четырёхугольниках, можно заключить, что угол, под которым преломился \(L_2\) на грани \(OA\), равен углу, под которым он упал на грань \(OD\). Значит, по закону Снеллиуса угол, под которым луч выйдет из грани \(OD\), равен углу, под которым он упал на грань \(OA\), то есть \(\beta = \alpha\). Заметим, что от показателя преломления стекла ответ не зависит.

Подсказка

Пересчитайте давление в высоту столба воды над датчиком. Площадь свободной поверхности найдите из связи \(\Delta V = S\,\Delta h\): где при равном приросте давления объём меньше, там поверхность больше. Горизонтальные участки графика соответствуют моментам, когда вода переливается через перегородку.

Ответ

Сосуд заполнен доверху. На высоте \(0\)–\(0{,}5\) м — отсек A объёмом \(0{,}1\) м\(^3\); на высоте \(0{,}5\)–\(1{,}5\) м — отсек B объёмом \(0{,}25\) м\(^3\) (вместе с A высота \(0{,}5\) м); отсек C объёмом \(0{,}45\) м\(^3\) высотой \(1{,}5\) м; полость D над высотой \(2{,}0\) м. Схема — один из возможных вариантов расположения перегородок (см. решение).

Решение

Мы видим несколько участков линейного увеличения давления. Измеряемое датчиком давление \(p = p_0 + \rho g h\), где \(h\) — высота свободной поверхности воды над датчиком давления (дном сосуда). Из графика видно, что в конце процесса сосуд оказался заполнен доверху.

Пусть в сосуд долили небольшой объём воды \(\Delta V\), который растёкся по свободной поверхности уже налитой жидкости. Пусть площадь свободной поверхности воды равна \(S\), тогда \(\Delta V = S\,\Delta h = \dfrac{S\,\Delta p}{\rho g}\), откуда \(S = \rho g\,\dfrac{\Delta V}{\Delta p}\).

Найдём площади свободной поверхности жидкости для каждого линейного участка возрастания давления. Результаты (высота \(h\) от дна, м — площадь \(S\), м\(^2\)): на участке \(0{,}0\)–\(0{,}5\) — \(S = 0{,}2\); на участке \(0{,}5\)–\(1{,}5\) — \(S = 0{,}7\); на участке \(1{,}5\)–\(2{,}0\) — \(S = 1{,}0\); на участке \(2{,}0\)–\(4{,}0\) — \(S = 0{,}5\). Из этого видно, что только в диапазоне высот \(1{,}5\)–\(2{,}0\) м от дна вода заполняла сосуд по всей его площади.

Теперь разберёмся с горизонтальными участками графика. Как возможно, что при увеличении объёма воды в сосуде давление у дна не возрастает? Это возможно, если в определённый момент времени вода достигает верха некоторой перегородки и затем переливается через неё, а когда уровень воды за перегородкой сравняется с уровнем воды перед перегородкой, давление на дно вновь начинает расти. Из графика видно, что объёмы частей A, B и C составляют соответственно \(0{,}1\) м\(^3\); \(0{,}25\) м\(^3\) и \(0{,}45\) м\(^3\). Часть D представляет собой полость, образованную горизонтальной и вертикальной перегородками.

На рисунке приведён один из возможных примеров расположения перегородок в сосуде. Одна клетка соответствует \(0{,}1\) м.