ВсОШ, 2024/25, региональный этап, 7 класс, теоретический тур

Подсказка

Скорости друзей относительно своих эскалаторов пропорциональны пройденным ими числам ступенек. Запишите длину эскалатора двумя способами: через путь каждого из друзей относительно Земли и через путь Глюка при спуске.

Ответ

1) Глюк быстрее в \(3\) раза;  2) \(N_4 = 144\);  3) \(N = 288\).

Решение

Для упрощения формул используем нesистемные единицы: ступеньки для пути и ступеньки в секунду для скорости. К моменту встречи друзья шли по эскалаторам одинаковое время, поэтому отношение пройденных ими путей — это отношение их скоростей. Значит, Глюк идёт быстрее. Обозначим скорость Бага \(v\); тогда скорость Глюка в 3 раза больше: \(\dfrac{N_1 v}{N_2} = 3v\). Скорость эскалатора обозначим \(u\), время до встречи — \(t\).

Способ 1. Полное время движения Глюка по эскалатору \(t_Г = \dfrac{N_3}{N_1}\,t = \dfrac{3}{2}\,t\).

К моменту встречи Глюк прошёл путь \(N_1\), Баг — \(N_2\), а эскалаторы каждого из друзей успели переместить их на \(ut\), значит \(N = N_1 + N_2 + 2ut\). С другой стороны, когда Глюк дошёл до конца эскалатора, он преодолел расстояние \(N_3\), а его эскалатор сместил ступеньку, с которой начинал движение, на \(\dfrac{3}{2}ut\), поэтому \(N = N_3 + \dfrac{3}{2}ut\). Приравнивая правые части: \[N_1 + N_2 + 2ut = N_3 + \frac{3}{2}ut \quad\Rightarrow\quad ut = 2(N_3 - N_1 - N_2) = 48 \text{ ступенек}.\] То есть скорость эскалатора в точности равна скорости Бага: \(u = v\). Подставляя это значение, получаем \(N = 4N_3 - 3N_1 - 3N_2 = 288\) ступенек. За всё время движения Баг насчитает \[N_4 = \frac{Nv}{v + u} = \frac{Nv}{2v} = \frac{N}{2} = 144 \text{ ступенек}.\]

Способ 2. Путь Глюка относительно своего эскалатора до встречи: \(3vt = N_1\); путь Бага относительно своего эскалатора: \(vt = N_2\). Полный путь Глюка относительно своего эскалатора: \(3vt_Г = N_3\), откуда \(t_Г = \dfrac{3}{2}t\). Длину эскалатора запишем двумя способами: \(N = (3v + u)t + (v + u)t\) и \(N = (3v + u)t_Г\). Приравнивая и подставляя \(t_Г = \dfrac{3}{2}t\), получаем \(u = v\). Тогда \(N = 6vt = 6N_2 = 288\) ступенек, а Баг насчитает \(N_4 = \dfrac{Nv}{v + u} = \dfrac{N}{2} = 144\) ступеньки.

Подсказка

Средняя скорость от начала движения — это наклон прямой из начала координат к точке графика. Максимум и минимум достигаются у касательных, проведённых из начала координат.

Ответ

1) \(10\) мин;  2) \(S_0 = 5\) км;  3) \(140\) мин (2 ч 20 мин);  4) \(105\) км;  5) \(90\) км/ч;  6) в \(9\) раз;  7) \(48{,}5\) км/ч.

Решение

Средняя путевая скорость — отношение пути ко времени, т.е. наклон прямой из начала координат к графику. Касательная, составляющая с осью времени наибольший угол (прямая \(OB\)), даёт \(v_{max}\); касательная с наименьшим углом (прямая \(OC\)) даёт \(v_{min}\).

По условию между этими моментами прошёл 1 час, следовательно, цена деления по оси времени — 10 минут. Пусть цена деления по оси пути — \(S_0\). По графику путь за последний час движения равен \(10S_0\). Так как средняя скорость за последний час равна 50 км/ч, получаем, что цена деления \(S_0 = 5\) км. Теперь оцифрованы обе оси, и можно ответить на 3-й и 4-й вопросы.

Время движения до дачи — 140 минут (2 часа 20 минут). Расстояние до дачи — 105 км.

Мгновенные скорости на участках движения: первые 30 минут автомобиль ехал со скоростью \(v_1 = \dfrac{20 \text{ км}}{30 \text{ мин}} = 40\) км/ч; следующие 20 минут (1/3 часа) — со скоростью \(v_2 = \dfrac{(50 - 20) \text{ км}}{20 \text{ мин}} = 90\) км/ч. Далее за 60 минут (1 час) автомобиль проехал 10 км, поэтому его скорость \(v_3 = 10\) км/ч. Последние 30 минут (полчаса) автомобиль двигался со скоростью 90 км/ч. Так как 40-я минута попадает на второй участок, мгновенная скорость на 40-й минуте равна 90 км/ч.

Минимальная мгновенная скорость — на третьем участке, она равна 10 км/ч. Скорость на четвёртом участке 90 км/ч, отношение \(90 / 10 = 9\).

Средняя скорость на первой половине пути. Половина пути составляет 52,5 км. Этот участок состоит из первого участка (путь 20 км, время 30 минут), второго участка (путь 30 км, время 20 минут) и ещё 2,5 км, которые автомобиль прошёл со скоростью 10 км/ч: \[\bar v_{1/2} = \frac{52{,}5 \text{ км}}{\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{2{,}5}{10}\right) \text{ ч}} = 48{,}5 \text{ км/ч}.\]

Подсказка

Плотность газировки равна массе сладкой воды, делённой на полный объём (воды плюс пузырьки). Используйте два столбца таблицы, где масса известна.

Ответ

1) \(\rho_В = 1\) г/мл;  2) \(V_С = 110\) мл;  3) \(V_0 \approx 0{,}009\) мм\(^3\);  4) \(m = 80\) г.

Решение

Плотность сладкой воды находим из первого столбца: \(\rho_В = \dfrac{m_1}{V_1} = 1\) г/мл. Из-за пузырьков жидкость увеличивается в объёме. Но в 3-м и 4-м столбцах её объём одинаков, значит, газировка начала выливаться из стакана, объём которого \(V_С = 110\) мл.

Способ 1. Средняя плотность газированной жидкости \[\rho = \frac{m_Ж}{V_Ж} = \frac{m_В}{V_Ж} = \rho_В\,\frac{V_Ж - V_П}{V_Ж} = \rho_В\,(1 - nV_0),\] где \(m_Ж\) — масса «газировки», \(V_Ж\) — её объём, \(m_В\) — масса сладкой воды (массой пузырьков пренебрегаем), \(V_П\) — объём всех пузырьков, \(V_0\) — объём одного пузырька, \(N\) — их количество. Применим формулу ко 2-му столбцу: \[\frac{m_2}{V_2} = \rho_В(1 - n_2V_0) \quad\Rightarrow\quad V_0 = \frac{1}{n_2}\left(1 - \frac{m_2}{V_2\rho_В}\right) = \frac{1}{11n_2} \approx 9\cdot 10^{-3}\ \text{мм}^3 = 0{,}009\ \text{мм}^3.\]

Способ 2. Объём жидкости \(V_Ж = V_В + NV_0\), концентрация \(n = \dfrac{N}{V_Ж}\), поэтому \(V_Ж = V_В + nV_Ж V_0\), откуда \(V_0 = \dfrac{V_Ж - V_В}{nV_Ж}\). По данным 2-го столбца \(V_0 = \dfrac{99 \text{ см}^3 - 90 \text{ см}^3}{10 \text{ мм}^{-3}\cdot 99 \text{ см}^3} = \dfrac{1}{110 \text{ мм}^3} \approx 0{,}009 \text{ мм}^3\).

Плотность газировки в 4-м столбце: \(\rho_4 = \rho_В(1 - n_4V_0) = \rho_В\left(1 - 3n_2\cdot\dfrac{1}{11n_2}\right) = \dfrac{8}{11}\rho_В\). Масса в таблице: \(m_4 = \rho_4 V_4 = \dfrac{8}{11}\dfrac{m_1}{V_1}\cdot\dfrac{11}{9}V_1 = \dfrac{8}{9}m_1 = 80\) г.

Способ 2 (проверка). Объём воды в 4-м измерении: \(V'_В = V_С - n_4 V_В V_0 = 110 \text{ см}^3 - 30 \text{ мм}^{-3}\cdot 110 \text{ см}^3\cdot\dfrac{1}{110 \text{ мм}^3} = 80 \text{ см}^3\). Тогда масса воды \(m_4 = \rho_В V'_В = 80\) г.

Подсказка

Поезда не столкнутся, если один из них успевает полностью проехать перекрёсток раньше, чем к нему подойдёт второй. Рассмотрите крайние значения скорости первого поезда и учтите погрешность спидометра второго.

Ответ

1) \(v_1 \in [48{,}86;\ 75{,}60]\) км/ч, т.е. примерно от 49 до 76 км/ч; 2) \(v_2 < 41{,}75\) км/ч или \(v_2 > 87{,}40\) км/ч.

Решение

По замерам машиниста определим максимальную и минимальную возможную скорость первого поезда: \[v_{1max} = \frac{d + \Delta d}{\tau - \Delta\tau} = 21 \text{ м/с} = 75{,}60 \text{ км/ч} \approx 76 \text{ км/ч},\] \[v_{1min} = \frac{d - \Delta d}{\tau + \Delta\tau} \approx 13{,}57 \text{ м/с} \approx 48{,}86 \text{ км/ч} \approx 49 \text{ км/ч}.\]

Чтобы поезда не столкнулись, должно выполняться одно из двух условий: а) к моменту подхода первого поезда к перекрёстку второй уже успел проехать; б) к моменту подхода второго поезда к перекрёстку первый уже успел проехать. Первое условие: \(\dfrac{S}{v_{1max}} > \dfrac{S + L}{v_2}\), откуда \(v_2 > \dfrac{S + L}{S}\,v_{1max}\). Второе условие: \(\dfrac{S + L}{v_{1min}} < \dfrac{S}{v_2}\), откуда \(v_2 < \dfrac{S}{S + L}\,v_{1min}\).

С учётом погрешности спидометра, который показывает скорость в км/ч: \(v_2 - \Delta v > \dfrac{S + L}{S}\,v_{1max}\) или \(v_2 + \Delta v < \dfrac{S}{S + L}\,v_{1min}\). Подставляя числовые значения, получаем, что условию задачи удовлетворяют все \(v_2\), которые либо меньше 41,75 км/ч, либо больше 87,40 км/ч.