ВсОШ, 2024/25, региональный этап, 8 класс, теоретический тур

Подсказка

Отметьте интервалы из условия на плоскости \(x(t)\) и проведите две прямые, проходящие через все интервалы: с максимальным и минимальным угловым коэффициентом. Угловой коэффициент — скорость автомобиля.

Ответ

1) \(v_{max} = 80\) км/ч, \(v_{min} = 60\) км/ч;  2) \(3\) км \(\leqslant l \leqslant 4\) км;  3) \(x = (649{,}25 \pm 0{,}25)\) км.

Решение

Движение равномерное, поэтому \(x(t)\) — линейная функция, график — прямая. Строим две прямые, пересекающие все интервалы: с максимально возможным угловым коэффициентом (пунктирная линия) и с минимально возможным (сплошная линия). Угловые коэффициенты этих прямых — скорости автомобиля \(v = \dfrac{x_2 - x_1}{t_2 - t_1}\).

Интервал возможных скоростей: \[v_{max} = \frac{650 \text{ км} - 647 \text{ км}}{2{,}25 \text{ мин}} = 80 \text{ км/ч}, \qquad v_{min} = \frac{650 \text{ км} - 648 \text{ км}}{2 \text{ мин}} = 60 \text{ км/ч}.\] (Аналитическое нахождение предельных скоростей громоздко и здесь не приводится.)

Путь \(l = vt\): \[l_{max} = 80 \frac{\text{км}}{\text{ч}}\cdot\frac{3}{60}\text{ ч} = 4 \text{ км}, \qquad l_{min} = 60 \frac{\text{км}}{\text{ч}}\cdot\frac{3}{60}\text{ ч} = 3 \text{ км}.\] Ответ: \(3\) км \(\leqslant l \leqslant 4\) км, или \(l = (3{,}5 \pm 0{,}5)\) км.

Положение в момент \(t = 3{,}25\) мин. Верхняя точка отрезка на пунктирной прямой — середина отрезка с концами (2 мин; 648 км) и (\(4{,}5\) мин; 651 км), т.е. её координата \(649{,}5\) км. Нижняя точка на сплошной прямой — середина отрезка с концами (\(1{,}5\) мин; 647 км) и (5 мин; 651 км) , её координата \(649\) км. Тогда \(649 \text{ км} \leqslant x \leqslant 649{,}5\) км, т.е. \(x = (649{,}25 \pm 0{,}25)\) км.

Аналитически: прямые \(x_{пункт} = 645{,}6 + 1{,}2t\) и \(x_{сплош} = \frac{4517}{7} + \frac{8}{7}t\) (км, мин) при \(t = 3{,}25\) мин дают границы \(649{,}5\) км и \(649\) км.

Подсказка

Если блоки невесомы, то натяжения нитей получаются из условия равновесия каждого блока. Рассмотрите предел очень тяжёлого груза и учтите, что для весомых блоков выигрыш ограничен сверху.

Ответ

1) \(k_1 = 7\);  2) \(k_{max} = 10\);  3) выигрыш в силе есть при массах груза больше \(M/6\) (при \(M_0 = M/6\) выигрыша нет; при \(m \gg M\) выигрыш стремится к \(10\)).

Решение

Идеальная система (блоки невесомы): натяжения нитей показаны на распределении сил, условие подъёма груза \(10F = Mg\), откуда выигрыш \(k_{max} = \dfrac{Mg}{F} = 10\).

Система с весомыми блоками. Пусть масса \(i\)-го блока равна \(m_i\). Из условий равномерного движения блоков по вертикали: \(2F = T_1 + m_1 g\),  \(2T_1 = T_2 + m_4 g\),  \(2T_2 = T_3 + m_6 g\) (блок \(m_5\) аналогичен \(m_4\), так как \(m_4 = m_5\)). Отсюда \(T_3 = 8F - 4m_1 g - 2m_4 g - m_6 g\), \(T_1 = 2F - m_1 g\). Условие подъёма груза: \(T_3 + T_1 = Mg\), т.е. \(10F - 5m_1 g - 2m_4 g - m_6 g = Mg\). С учётом \(F = Mg/k\): \[\frac{10 - k}{k}\,M = 5m_1 + 2m_4 + m_6 .\] При \(k = 4\): \(\dfrac{3}{2}M = 5m_1 + 2m_4 + m_6\).

Пункт 1. Для груза \(M_1 = 3{,}5M\) сила \(F_1\) удовлетворяет \(10F_1 - 5m_1 g - 2m_4 g - m_6 g = M_1 g\), откуда \(F_1 = 0{,}5\,Mg\), и \[k_1 = \frac{M_1 g}{F_1} = \frac{3{,}5\,Mg}{0{,}5\,Mg} = 7.\]

Пункт 2. Из соотношения \(\dfrac{F}{M_{гр}g} = \dfrac{1}{10}\left(1 + \dfrac{3M}{2M_{гр}}\right)\) (здесь \(M_{гр}\) — масса груза) при \(M_{гр} \gg M\) отношение \(\dfrac{F}{M_{гр}g}\) минимально и равно \(\dfrac{1}{10}\), поэтому \(k_{max} = 10\).

Пункт 3. Масса груза \(M_0\), для которой выигрыша нет (\(k = 1\)), находится из \(10M_0 g - \dfrac{3}{2}Mg = M_0 g\), откуда \(M_0 = \dfrac{M}{6}\). Выигрыш в силе есть при \(M_{гр} > M/6\); при этом \(k = \dfrac{10M_{гр}}{M_{гр} + 1{,}5M}\), что стремится к 10 при больших массах.

Подсказка

Сравните давления у дна в двух сосудах до открытия крана. Брусок начнёт всплывать, когда сила Архимеда станет равна его весу; найдите слой тяжёлой жидкости, при котором это происходит.

Ответ

Высота столба жидкости в левом сосуде \(h_{лев} = \dfrac{7}{3}h\); в правом сосуде высота содержимого \(h_{прав} = \dfrac{29}{6}h\).

Решение

Объём жидкости плотностью \(3\rho\): \(V_1 = 4hS\); объём жидкости плотностью \(\rho\): \(V_2 = 4h\cdot 2S - hS = 7hS\); масса бруска \(m = 2\rho hS\).

Давления у дна до открытия крана: \(p_{лев} = p_0 + 12\rho g h\), \(p_{прав} = p_0 + 4\rho g h\). Давление в левом сосуде больше, поэтому после открытия крана жидкость плотностью \(3\rho\) перетекает из левого сосуда в правый. В нижней части правого сосуда растёт слой жидкости плотностью \(3\rho\), плотность которой больше плотности бруска, поэтому брусок начинает всплывать. Высоту этого слоя обозначим \(h_x\). В момент начала всплытия \(2\rho g h S = F_{Арх}\).

Способ 1. Сила Архимеда равна весу жидкости, объём которой равен объёму погружённой части бруска, а плотность — средней плотности смеси: \(F_{Арх} = \rho_{ср} g S h\), где \(\rho_{ср} = 2\rho\). Смесь с плотностью \(2\rho\) (среднее арифметическое \(\rho\) и \(3\rho\)) получается при равных объёмах жидкостей: \(h_x = \dfrac{h}{2}\).

Из левого колена в правое перешёл объём жидкости \((2S - S)\cdot\dfrac{h}{2} = S\dfrac{h}{2}\), поэтому уровень в левом колене понизился на \(\dfrac{h}{2}\) и стал равным \(4h - \dfrac{h}{2} = 3{,}5h\). Высота столба жидкости плотностью \(\rho\) в правом колене — \(h' + \dfrac{h}{2}\), где \(h'\) найдём из неизменности объёма жидкости \(\rho\): \(7hS = 2Sh' + S\dfrac{h}{2}\), откуда \(h' = \dfrac{13}{4}h\). Тогда высота столба \(\rho\) в правом колене равна \(\dfrac{15}{4}h\) и далее не меняется.

Давления у дна: \(p'_{лев} = p_0 + 3\rho g\cdot\dfrac{7}{2}h = p_0 + \dfrac{21}{2}\rho g h\), \(p'_{прав} = p_0 + \rho g\dfrac{15}{4}h + 3\rho g\dfrac{h}{2} = p_0 + \dfrac{21}{4}\rho g h\). Давление в левом сосуде больше, перетекание продолжается. Пусть в правое колено дополнительно перетекает слой высотой \(\Delta h\) жидкости \(3\rho\); из левого колена при этом уходит \(2\Delta h\) (площадь его в два раза меньше). Приравнивая давления у дна в момент прекращения перетекания, \[p_0 + 3\rho g\left(\frac{7}{2}h - 2\Delta h\right) = p_0 + \rho g\frac{21}{4}h + 3\rho g\Delta h,\] получаем \(\Delta h = \dfrac{7}{12}h\). Тогда уровень в левом колене \(h_{лев} = \dfrac{7}{2}h - 2\Delta h = \dfrac{7}{3}h\), а содержимое правого колена \[h_{прав} = \frac{15}{4}h + \frac{h}{2} + \Delta h = \frac{29}{6}h.\]

Способ 2. Выталкивающую силу можно найти как разность сил давления на нижнюю и верхнюю грани бруска: \(p_{верх} = p_0 + \rho g h'\), \(p_{ниж} = p_0 + \rho g(h' + (h - h_x)) + 3\rho g h_x\), и \(mg = (p_{ниж} - p_{верх})S\) даёт \(2\rho g h S = \rho g h + 2\rho g h_x\), т.е. \(h_x = \dfrac{h}{2}\) (как в способе 1). Высоту столба жидкости в левом колене в момент прекращения перетекания можно найти иначе — приравняв давление у дна, выраженное через жидкость \(3\rho\) слева, и через силу давления на дно, равную весу содержимого сосудов: \[3\rho g h_{лев} = \frac{3\rho\cdot 4hSg + 2\rho hSg + \rho(4h\cdot 2S - hS)g}{3S} = 7\rho g h \quad\Rightarrow\quad h_{лев} = \frac{7}{3}h.\]

Подсказка

Проверьте, не выливается ли вода из сосуда при опускании очередного шарика: объём шарика равен \(m_ш/\rho_ш\), а вода вытесняется из сосуда объёмом шарика.

Ответ

\(t_3 \approx 57\,^\circ\)C.

Решение

Масса шарика \(m_ш = C_ш / c = 0{,}4\) кг; объём \(V_ш = m_ш/\rho_ш \approx 51\) см\(^3\).

При опускании первого шарика вода не выливается (проверка): уравнение теплового баланса \(c_в m_0 (t_1 - t_0) + C_ш (t_1 - t_ш) = 0\) даёт \(t_1 = \dfrac{c_в m_0 t_0 + C_ш t_ш}{c_в m_0 + C_ш} = 35\,^\circ\)C.

Проверим, выливается ли вода при опускании второго шарика. Предполагаемая температура \(t'_2 = \dfrac{c_в m_0 t_1 + C_ш t_1 + C_ш t_ш}{c_в m_0 + 2C_ш} \approx 45{,}2\,^\circ\)C. По условию \(t_2 = 47\,^\circ\)C, значит, часть воды вылилась. Из баланса \(c_в (m_0 - \Delta m)(t_2 - t_1) + C_ш(t_2 - t_1) + C_ш(t_2 - t_ш) = 0\) получаем \(\Delta m = 45\) г.

При опускании третьего шарика вылилась вода объёмом, равным объёму шарика, т.е. массой 51 г, поэтому нагревается масса воды \(m' = 155\text{ г} - 51\text{ г} = 104\) г. Уравнение баланса \(c_в m'(t_3 - t_2) + 2C_ш(t_3 - t_2) + C_ш(t_3 - t_ш) = 0\) даёт \[t_3 = \frac{c_в m' t_2 + 2C_ш t_2 + C_ш t_ш}{c_в m' + 3C_ш} \approx 57\,^\circ\text{C}.\]