зад 1 Пирамида Хеопса
Пирамида Хеопса — самая большая из египетских пирамид. Средний размер наблюдаемых каменных блоков черновой кладки — \(3{,}3\) зереца в глубину и ширину, \(2\) зерец в высоту. Конструкция пирамиды такая, что блоки уложены со сдвигом на половину блока по отношению к ряду, лежащему ниже. Длина сторон основания пирамиды — около \(440\) королевских локтей. Известно, что \(1\) королевский локоть равен \(1{,}5\) зереца, а \(1\) зерец равен \(0{,}35\) м.
Найдите количество блоков в основании пирамиды. Ответ дайте в тысячах штук с точностью до целого числа. (3 балла)
Рассчитайте высоту пирамиды. Ответ дайте в метрах с округлением до целого числа. (3 балла)
Мальчик Дима решил собрать модель пирамиды Хеопса из пластикового конструктора. Размер одной детали \(2\) см \(\times\) \(2\) см \(\times\) \(0{,}8\) см. Поняв, что дома ограниченное количество деталей, он сделал основание со стороной в \(10\) деталей.
Сколько деталей для строительства ему потребовалось? Дайте ответ в виде целого числа. (4 балла)
Условие приведено для варианта 1 (сторона основания \(440\) локтей, основание \(10\) деталей), как в тексте PDF. Значения для вариантов 2–5 — в матрице параметров исходного файла.
▶ПодсказкаСкрыть
Сколько блоков укладывается в ряд основания? Каждый следующий ряд короче предыдущего на один блок с каждой стороны: сколько рядов получится?
▶ОтветСкрыть
1) \(40\) тыс. блоков; 2) \(140\) м; 3) \(385\) деталей.
▶РешениеСкрыть
Сторона основания \(440 \cdot 1{,}5 = 660\) зерцов. Ширина блока \(3{,}3\) зереца, поэтому в одном ряду основания \(660 / 3{,}3 = 200\) блоков. Всего в основании \(200 \cdot 200 = 40\,000\) блоков, то есть \(40\) тыс.
Каждый следующий ряд уменьшается на один блок по длине и ширине (из-за сдвига на полблока с каждой стороны), поэтому рядов \(200\). Высота блока \(2\) зереца \(= 2 \cdot 0{,}35 = 0{,}7\) м, высота пирамиды \(200 \cdot 0{,}7 = 140\) м.
Деталей в первом ряду \(10 \cdot 10 = 100\), во втором \(9 \cdot 9 = 81\) и так далее до \(1 \cdot 1\): \(1^2 + 2^2 + \dots + 10^2 = 385\).
зад 2 Песок и вода
В цилиндрическом сосуде находится песок массой \(m = 3\) кг. Площадь основания сосуда \(S = 100\) см\(^2\). Сосуд медленно наполнили водой. Зависимость высоты уровня воды \(h\) в сосуде от налитого объёма \(V\) представлена на рисунке. Плотность воды \(1\) г/см\(^3\).
Найдите насыпную плотность песка. Ответ дайте в г/см\(^3\) с округлением до десятых долей. (3 балла)
Найдите плотность песчинок. Ответ дайте в г/см\(^3\) с округлением до десятых долей. (3 балла)
Найдите среднюю плотность содержимого заполненного сосуда. Ответ дайте в г/см\(^3\) с округлением до десятых долей. (2 балла)
На сколько опустится уровень воды в заполненном сосуде, если убрать из него весь песок? Ответ дайте в см с округлением до десятых долей. (2 балла)
Условие приведено для варианта 1 (\(m = 3\) кг, \(S = 100\) см\(^2\)), как в тексте PDF. Значения \(m\) и \(S\) для вариантов 2–5 — в матрице параметров исходного файла.
▶ПодсказкаСкрыть
На графике есть два излома. Первый соответствует моменту, когда вода полностью покрыла песок, второй — моменту, когда уровень перестал расти. Что означает участок после второго излома?
▶ОтветСкрыть
1) \(\rho_н = 1{,}5\) г/см\(^3\); 2) \(\rho_п = 3{,}0\) г/см\(^3\); 3) \(\rho_{ср} = 1{,}5\) г/см\(^3\); 4) \(\Delta h = 10{,}0\) см.
▶РешениеСкрыть
Высота песка по графику \(20\) см (первый излом: вода покрыла песок). Объём песка \(V_п = 20 \cdot 100 = 2000\) см\(^3\). Насыпная плотность: \[\rho_н = \frac{m}{V_п} = \frac{3000\ \text{г}}{2000\ \text{см}^3} = 1{,}5\ \text{г/см}^3.\]
Объём воды, покрывшей песок, \(1\) л \(= 1000\) см\(^3\), поэтому объём песчинок \(V_и = 2000 - 1000 = 1000\) см\(^3\), а плотность песчинок \[\rho_п = \frac{m}{V_и} = \frac{3000\ \text{г}}{1000\ \text{см}^3} = 3{,}0\ \text{г/см}^3.\]
Уровень перестаёт меняться при высоте \(40\) см, поэтому объём сосуда \(V_с = 40 \cdot 100 = 4000\) см\(^3\). В сосуде \(3\) кг воды и \(3\) кг песка, суммарная масса \(6\) кг. Средняя плотность \[\rho_{ср} = \frac{2m}{V_с} = \frac{6000\ \text{г}}{4000\ \text{см}^3} = 1{,}5\ \text{г/см}^3.\]
Если убрать песок, уровень опустится на объём песчинок, делённый на площадь: \[\Delta h = \frac{V_и}{S} = \frac{1000\ \text{см}^3}{100\ \text{см}^2} = 10{,}0\ \text{см}.\]
зад 3 Плоты и пешеход
Из пункта \(А\) в пункт \(В\) сплавляют по реке плоты, отправляя их через равные промежутки времени. Скорости всех плотов относительно берега реки постоянны и равны скорости течения реки. Пешеход, идущий из \(А\) в \(В\) по берегу реки, прошёл треть пути от \(А\) до \(В\) к моменту отплытия первого плота. Дойдя до \(В\), пешеход сразу отправился в \(А\) и встретил первый плот, пройдя четверть пути от \(В\) до \(А\), а последний плот он встретил, не доходя до \(А\) одну пятую часть расстояния между \(А\) и \(В\). Скорость пешехода постоянна и равна \(v = 5{,}5\) км/ч, участок реки от \(А\) до \(В\) — прямолинейный.
Найдите скорость течения реки. Ответ дайте в км/ч с точностью до десятых долей. (3 балла)
Найдите расстояние от пункта \(А\) до пункта \(В\), если от встречи пешехода с первым плотом до встречи его с последним плотом прошло \(t = 59{,}4\) мин. Ответ дайте в км с точностью до десятых долей. (3 балла)
Сколько плотов отправлено из \(А\) в \(В\), если их отправляли с интервалом времени \(\tau = 12\) мин? Дайте ответ в виде целого числа. (4 балла)
Условие приведено для варианта 1 (\(v = 5{,}5\) км/ч, \(\tau = 12\) мин), как в тексте PDF. Значения \(v\), \(t\), \(\tau\) для вариантов 2–5 — в матрице параметров исходного файла.
▶ПодсказкаСкрыть
Выразите путь пешехода до встречи с первым плотом и время движения; за это же время плот проплывает путь, равный расстоянию от \(А\) до точки встречи, так как плот движется со скоростью течения.
▶ОтветСкрыть
1) \(u = 4{,}5\) км/ч; 2) \(L = 9{,}9\) км; 3) \(12\) плотов.
▶РешениеСкрыть
Пусть \(L\) — расстояние между \(А\) и \(В\), \(u\) — скорость течения реки.
Пешеход до встречи с первым плотом прошёл \(\dfrac{2}{3}L + \dfrac{1}{4}L = \dfrac{11}{12}L\) за время \(t_1 = \dfrac{11L}{12v}\). За это время плот проплыл \(\dfrac{3}{4}L\), поэтому \[u = \frac{3L}{4t_1} = \frac{3}{4}\cdot\frac{12v}{11} = \frac{9}{11}v = 4{,}5\ \text{км/ч}.\]
Между встречами с первым и последним плотом пешеход прошёл \(L - \dfrac{L}{4} - \dfrac{L}{5} = \dfrac{11}{20}L\), и это время \(t = 59{,}4\) мин. Тогда \[\frac{11}{20}L = vt \quad\Rightarrow\quad L = \frac{20\,v t}{11} \approx 9{,}9\ \text{км}.\]
Последний плот встретил пешехода в точке, отстоящей от \(А\) на \(\dfrac{L}{5}\), поэтому плыл он \(t_2 = \dfrac{L}{5u} = 26{,}4\) мин. Первый плот до встречи с пешеходом плыл \(t_1 = \dfrac{11L}{12v} = 99\) мин. Тогда от отплытия первого плота до отплытия последнего прошло \(T = t_1 + t - t_2 = 99 + 59{,}4 - 26{,}4 = 132\) мин. За это время с интервалом \(\tau = 12\) мин отплыло \(N = T/\tau = 11\) плотов после первого, всего \(12\).
зад 4 Гайковёрт
Гайковёрт развивает скорость вращения \(n = 600\) оборотов в минуту. Гайка крепления колеса при этом имеет шаг резьбы \(d = 2\) мм. Глубина посадки гайки составляет \(l = 3\) см.
Рассчитайте, за какое время гайковёрт откручивает гайку, считая скорость вращения постоянной. Ответ дайте в секундах с точностью до десятых долей. (3 балла)
Рассчитайте, за какое время гайковёрт открутит гайку, если на то, чтобы полностью раскрутиться, у гайковёрта уходит \(\tau = 1\) с, а скорость вращения возрастает пропорционально времени. Ответ дайте в секундах с точностью до десятых долей. (4 балла)
Какую максимальную скорость вдоль оси резьбы при этом приобретает гайка? Ответ дайте в мм/с с округлением до целого числа. (3 балла)
Условие приведено для варианта 1 (\(n = 600\) об/мин, \(d = 2\) мм, \(l = 3\) см), как в тексте PDF. Значения \(n\), \(d\), \(l\) для вариантов 2–5 — в матрице параметров исходного файла.
▶ПодсказкаСкрыть
Сколько оборотов должна сделать гайка, чтобы полностью сойти с резьбы? За один оборот гайка смещается на шаг резьбы. Для второго пункта учтите, что средняя скорость вращения за время разгона вдвое меньше максимальной.
▶ОтветСкрыть
1) \(t = 1{,}5\) с; 2) \(t' = 2{,}0\) с; 3) \(v_{max} = 20\) мм/с.
▶РешениеСкрыть
Гайка должна сделать \(N = \dfrac{l}{d} = \dfrac{30}{2} = 15\) оборотов. При \(n = 10\) об/с время \[t = \frac{N}{n} = \frac{l}{dn} = 1{,}5\ \text{с}.\]
За время разгона \(\tau = 1\) с скорость вращения растёт от нуля до \(n\) пропорционально времени, средняя скорость вдвое меньше максимальной, поэтому гайка сделает за разгон \[N_1 = \frac{\tau n}{2} = 5 \text{ оборотов}.\] Оставшиеся \(N - N_1 = 10\) оборотов гайковёрт делает с постоянной скоростью \(n\) за время \(1\) с. Итого \[t' = \tau + \frac{N - N_1}{n} = 2{,}0\ \text{с}.\]
Максимальная скорость гайки достигается при максимальной скорости вращения. За один оборот гайка смещается на шаг резьбы \(d\), поэтому при \(n = 10\) об/с \[v_{max} = d\,n = 2\ \text{мм} \cdot 10\ \text{с}^{-1} = 20\ \text{мм/с}.\]
Источник: Всероссийская олимпиада школьников по физике, 2025/26, муниципальный этап, 7 класс — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.