ВсОШ, 2025/26, региональный этап, 7 класс, теоретический тур

Подсказка

Сравните, на какую долю заполнилась ванна за разные отрезки времени. Подумайте, в каком порядке могли располагаться дом, школа и почта, чтобы на полу осталась лужа.

Ответ

1) \(\mu = 10\) л/мин;  2) \(50\) л;  3) в \(1{,}2\) раза.

Решение

Объёмный расход — это объём воды, поступающей в ванну за единицу времени: \(\mu = \dfrac{\Delta V}{\Delta t}\). За 10 минут ванна набирается на \[\frac{V}{2} - 2\cdot\frac{V}{8} = \frac{V}{4} = 100~\text{л}.\] То есть за 10 минут в ванну поступает 100 л воды. Тогда \(\mu = 10\) л/мин.

Из условия не ясно, как взаимно расположены дом, школа и почта. Однако можно точно сказать, что расстояние от школы до почты больше, чем от школы до дома: пока Вася шёл от школы до дома, ванна набралась на \(V/8\), а пока он шёл от школы до почты, — на \(V/4\). Поэтому почта не может находиться между школой и домом. Рассматриваем два варианта: 1) школа — дом — почта; 2) почта — школа — дом.

В первом случае за время движения Васи от почты до дома ванна наберётся на \[\frac{3}{4}V + \frac{1}{4}V - \frac{1}{8}V = \frac{7}{8}V.\] То есть лужи на полу не будет, а по условию задачи она должна быть. Значит, это не наш случай.

Во втором случае Вася, двигаясь от почты до дома, сначала пройдёт путь от почты до школы, а потом от школы до дома. Тогда к его приходу из крана выльется вода в объёме \[\frac{3}{4}V + \frac{1}{4}V + \frac{1}{8}V = \frac{9}{8}V.\] Значит, на пол вылилось \(V/8 = 50\) л.

К моменту выхода Васи из дома ванна была заполнена на \(\dfrac{1}{2}V - \dfrac{1}{8}V = \dfrac{3}{8}V\). Значит, всё путешествие из дома и обратно длилось \[t_1 = \frac{1}{\mu}\cdot\frac{6V}{8} = 30~\text{мин}.\] Чтобы не переполнить ванну, Вася должен вернуться не позднее, чем через \[t_2 = \frac{1}{\mu}\cdot\frac{5V}{8} = 25~\text{мин}.\] Значит, ему надо двигаться быстрее в \(t_1/t_2 = 1{,}2\) раза.

Подсказка

Что означают моменты, когда расстояние между спортсменами обращается в ноль? Сколько кругов обгоняет один спортсмен другого за время между такими моментами?

Ответ

\(v_1 = 5\) м/с;  \(v_2 = 4{,}1\) м/с.

Решение

Максимальное расстояние между спортсменами — диаметр беговой дорожки \(d\). По графику определяем, что диаметр дорожки \(d = 100\) м. Тогда длина беговой дорожки равна \(\pi d \approx 314\) м. По графику определяем, что спортсмены оказываются вместе каждые \(350\) с. Это значит, что за \(350\) с один из спортсменов обгоняет второго на круг. Разность скоростей \[v_1 - v_2 = \frac{314~\text{м}}{350~\text{с}} = 0{,}9~\text{м/с}.\] За время тренировки \(\tau\) первый спортсмен пробежал больше второго на \((v_1 - v_2)\tau = 2160\) м. Отсюда время тренировки \[\tau = \frac{2160~\text{м}}{0{,}9~\text{м/с}} = 2400~\text{с}.\] Скорость первого бегуна \[v_1 = \frac{S_1}{\tau} = \frac{12000~\text{м}}{2400~\text{с}} = 5~\text{м/с}.\] Скорость второго бегуна \[v_2 = \frac{S_2}{\tau} = \frac{9840~\text{м}}{2400~\text{с}} = 4{,}1~\text{м/с}.\]

Подсказка

Скорости лодки и катера относительно берега при движении по течению и против него равны \(v \pm u\) и \(2v \pm u\). Раз лодка и катер плыли одинаковое время по течению и против него, как связаны \(S_{AB}\), \(S_{CD}\) и \(\tau\)?

Ответ

1) \(u = \dfrac{v}{3}\);  2) \(S_{AB} = \dfrac{2}{3}v\tau\),   \(S_{CD} = \dfrac{5}{3}v\tau\);  3) \(T = 1{,}9\,\tau\).

Решение

Лодка к пристани \(A\) движется против течения, а после разворота — по течению. Поэтому \[S_{AB} = (v - u)\tau, \qquad 2S_{AB} = (v + u)\tau.\] Откуда \(u = \dfrac{v}{3}\), \(S_{AB} = \dfrac{2}{3}v\tau\).

Поскольку лодка против течения и по течению плыла одинаковое время, в системе отсчёта реки она вернулась к месту старта. Но в таком случае и катер в системе отсчёта реки вернулся к месту старта, то есть так же плыл одинаковое время по течению и против него. Значит, \[S_{AB} + S_{CD} = (2v + u)\tau, \qquad S_{CD} = (2v - u)\tau.\] Откуда \(S_{CD} = \dfrac{5}{3}v\tau\).

После первой встречи лодка будет плыть до \(D\) в течение времени \[t_1 = \frac{S_{CD}}{v + u} = \frac{5v\tau/3}{4v/3} = \frac{5}{4}\tau.\] Катер будет плыть до \(A\) в течение времени \[t_2 = \frac{2S_{AB}}{2v - u} = \frac{4v\tau/3}{5v/3} = \frac{4}{5}\tau.\] Видно, что катер развернётся раньше лодки на \(t_1 - t_2 = \dfrac{9}{20}\tau\). За это время он успеет проплыть в направлении пристани \(D\) путь \(S_к = (2v + u)\dfrac{9\tau}{20} = \dfrac{21}{20}v\tau\). Тогда от момента поворота лодки в \(D\) до второй встречи с катером пройдёт время \[t_3 = \frac{2S_{AB} + S_{CD} - S_к}{3v} = \frac{13}{20}\tau.\] Значит, \[T = t_1 + t_3 = \frac{5}{4}\tau + \frac{13}{20}\tau = \frac{19}{10}\tau = 1{,}9\,\tau.\]

Подсказка

Найдите массу каждого квадрата и массу одной части. Подумайте, какие квадраты должны быть рассечены линиями разреза, чтобы в каждой части оказалась одна и та же масса.

Ответ

1) в верхнем левом квадрате (\(\sigma_{11}\));  2) \(x = 0{,}8\) м, \(y = 1{,}25\) м;  3) \(400\) г/м\(^2\) (левая верхняя), \(267\) г/м\(^2\) (правая верхняя), \(240\) г/м\(^2\) (левая нижняя), \(160\) г/м\(^2\) (правая нижняя).

Решение

Вычислим массы каждого квадрата: \[m_{11} = \sigma_{11}a^2 = 400~\text{г}, \quad m_{12} = 240~\text{г}, \quad m_{21} = 200~\text{г}, \quad m_{22} = 120~\text{г}.\] Общая масса пластины \(m_0 = 960\) г. Так как массы четырёх частей после разрезания одинаковы, то масса каждой части \(m = m_0/4 = 240\) г.

Масса двух левых квадратов до разрезания больше, чем \(2m\), значит вертикальный разрез должен пройти по ним. Аналогично, масса двух верхних квадратов до разрезания больше, чем \(2m\), значит горизонтальный разрез должен пройти по ним. Поэтому точка пересечения линий разреза находится внутри верхнего левого квадрата.

Пусть горизонтальная координата точки пересечения линий разреза — \(x\), а вертикальная — \(y\). Суммарная масса двух левых частей после разрезания: \[M_{11} + M_{21} = 2m = \sigma_{11}\,x\,a + \sigma_{21}\,x\,a.\] Откуда \[x = \frac{2m}{a(\sigma_{11} + \sigma_{21})} = 0{,}8~\text{м}.\] Суммарная масса двух верхних частей после разрезания: \[M_{11} + M_{12} = 2m = \sigma_{11}(2a - y)\,a + \sigma_{12}(2a - y)\,a.\] Откуда \[y = \frac{2a^2(\sigma_{11} + \sigma_{12}) - 2m}{a(\sigma_{11} + \sigma_{12})} = 1{,}25~\text{м}.\] Найдём средние поверхностные плотности получившихся частей: \[\sigma_{11}' = \frac{m}{x(2a - y)} = 400~\text{г/м}^2 \quad \text{(левая верхняя)},\] \[\sigma_{12}' = \frac{m}{(2a - x)(2a - y)} \approx 267~\text{г/м}^2 \quad \text{(правая верхняя)},\] \[\sigma_{21}' = \frac{m}{xy} = 240~\text{г/м}^2 \quad \text{(левая нижняя)},\] \[\sigma_{22}' = \frac{m}{(2a - x)y} = 160~\text{г/м}^2 \quad \text{(правая нижняя)}.\]