зад 1 Из города в деревню
Экспериментатор Баг ехал из города в деревню на автомобиле \(t = 10\) ч. Его путь состоял из трёх участков, на которых он двигался с постоянными скоростями. Первую часть пути он ехал со скоростью, равной средней скорости на всём пути. На втором и третьем участках скорости отличались в 2 раза. Также Баг совершенно точно помнил, что за время пути он дважды (кратковременно) разговаривал по телефону с теоретиком Глюком, причём эти звонки совершенно точно были на разных участках пути и не в момент изменения скорости. В первый раз Глюк позвонил ему через \(t_1 = 6{,}5\) ч после выезда из города, когда до деревни оставалось ехать \(S_1 = 250\) км, а во второй — через \(t_2 = 9\) ч, когда он отъехал от города на \(S_2 = 500\) км. Экспериментатор посчитал среднюю скорость на отрезке между двумя звонками Глюка, и оказалось, что она равна скорости на первом участке! Используя данные из условия, определите:
Расстояние \(s\), которое проехал Баг между звонками.
Скорости движения Бага \(v_1\), \(v_2\) и \(v_3\) на первом, втором и третьем участках соответственно.
Протяжённости \(l_1\), \(l_2\) и \(l_3\) в километрах первого, второго и третьего участков соответственно.
▶ПодсказкаСкрыть
Средняя скорость между звонками равна отношению пройденного пути к времени между звонками. Нарисуйте график зависимости пройденного пути от времени: наклон прямой — скорость.
▶ОтветСкрыть
1) \(s = 150\) км; 2) \(v_1 = 60\) км/ч, \(v_2 = 50\) км/ч, \(v_3 = 100\) км/ч; 3) \(l_1 = 150\) км, \(l_2 = 300\) км, \(l_3 = 150\) км.
▶РешениеСкрыть
1) Весь путь из города в деревню: \(L = 600\) км (до деревни оставалось \(250\) км, когда Баг проехал \(L - S_1 = 350\) км). Расстояние между звонками: \(s = S_2 - (L - S_1) = 500 - 350 = 150\) км.
2) Средняя скорость между звонками равна скорости на первом участке: \[v_1 = v_{\text{ср}} = \frac{s}{t_2 - t_1} = \frac{150~\text{км}}{2{,}5~\text{ч}} = 60~\text{км/ч}.\] Звонки были на разных участках: первый — на втором, второй — на третьем. Скорость на третьем участке: \(v_3 = \dfrac{L - S_2}{t - t_2} = \dfrac{100~\text{км}}{1~\text{ч}} = 100\) км/ч. Так как средняя скорость на всём пути равна \(60\) км/ч, скорость на втором участке не может быть в два раза больше \(v_3\); значит \(v_2 = \dfrac{v_3}{2} = 50\) км/ч, а \(v_3 = 100\) км/ч.
Графически: на графике \(s(t)\) первый участок — прямая из начала координат с наклоном \(v_1\), третий — прямая через точки 3 и 5, наклон которой даёт \(v_3 = 100\) км/ч, второй участок — прямая через точку 4 с наклоном \(v_2 = 50\) км/ч.
3) Аналитически: пусть \(T_1\) — время движения Бага на первом участке. С учётом того, что \(L - S_1 = 350\) км Баг проехал со скоростями \(v_1\) и \(v_2\): \[L - S_1 = v_1 T_1 + v_2(t_1 - T_1) \quad\Rightarrow\quad T_1 = \frac{L - S_1 - v_2 t_1}{v_1 - v_2} = 2{,}5~\text{ч},\] откуда \(l_1 = v_1 T_1 = 150\) км. Пусть \(T_2\) — время движения на втором участке. Тогда \[T_2 = \frac{v_1 T_1 + v_3 t - v_3 T_1 - L}{v_3 - v_2} = 6~\text{ч},\] откуда \(l_2 = v_2 T_2 = 300\) км и \(l_3 = L - l_1 - l_2 = 150\) км.
зад 2 Сосуд с трубой
К цилиндрическому сосуду с вертикальными стенками, площадь дна которого равна \(S_1\), сбоку прикреплена горизонтальная трубка круглого сечения (см. рис.). По трубке без трения может скользить поршень, который при помощи нити, перекинутой через маленький неподвижный блок, связан с поплавком. Участок нити от поплавка до блока вертикален, а от блока до поршня — горизонтален. Если в этот сосуд медленно налить однородную жидкость плотностью \(\rho\), то система окажется в равновесии в тот момент, когда поплавок будет погружён в жидкость на глубину \(h\), а расстояние от центральной оси поршня до поверхности жидкости будет равно \(H\). Площадь поперечного сечения поплавка \(S\), причём \(S > S_2\). Трубка открыта в атмосферу, поршень за пределы трубки не выходит. Массы нити, поршня и блока пренебрежимо малы, нить нерастяжима, трение в блоке отсутствует. Ускорение свободного падения равно \(g\).
Чему равна масса поплавка?
На поплавок медленно положили тело массой \(\Delta m\), в результате чего поршень сместился и занял новое положение равновесия. На какое расстояние и в какую сторону переместился поршень?
▶ПодсказкаСкрыть
Запишите условие равновесия поплавка и поршня до и после добавления тела. Объём жидкости в сосуде не меняется, поэтому смещение поплавка связано с подъёмом уровня жидкости.
▶ОтветСкрыть
1) \(m = \rho(hS - HS_2)\); 2) \(\Delta x = \dfrac{\Delta m}{\rho}\cdot \dfrac{S_1 - S}{S_1 S - 2SS_2 + S_2^2}\), поршень смещается влево.
▶РешениеСкрыть
1) Условие равновесия поплавка: \(mg + T = \rho g h S\), где \(T\) — сила натяжения нити. Условие равновесия поршня: \(T = \rho g H S_2\). Отсюда \(m = \rho(hS - HS_2)\).
2) Нить нерастяжима, поэтому при смещении поршня влево на \(\Delta x\) поплавок опускается на \(\Delta x\). Объём жидкости не меняется: уровень жидкости в вертикальном сосуде поднимается на \(\Delta H\), причём \[h(S_1 - S) + \Delta x\,S_1 = S_2\Delta x + (\Delta x + h + \Delta H)(S_1 - S) \quad\Rightarrow\quad \Delta H = \Delta x\,\frac{S - S_2}{S_1 - S}.\] Так как \(S > S_2\), предположение о подъёме уровня и смещении поршня влево верно.
Для поплавка с телом \(\Delta m\): \((m + \Delta m)g + T' = \rho g S(h + \Delta H + \Delta x)\), для поршня: \(T' = \rho g (H + \Delta H) S_2\). Вычитая из первого уравнения условие до добавления тела, получаем \[\frac{\Delta m}{\rho} = S\,\Delta x + \Delta H\,(S - S_2).\] Подставляя \(\Delta H\), найдём смещение поршня: \[\Delta x = \frac{\Delta m}{\rho}\cdot\frac{S_1 - S}{S_1 S - 2SS_2 + S_2^2}.\] Поршень смещается влево.
зад 3 Стол и ваза
В гостиной стоит журнальный столик (на рисунках представлен вид стола сбоку (левый рисунок) и сверху (правый рисунок)), столешница которого представляет собой однородный диск радиуса \(2a\). Масса столешницы \(M\). Четыре одинаковые вертикальные ножки, масса которых пренебрежимо мала по сравнению с массой столешницы, крепятся к столешнице в вершинах квадрата со стороной \(2a\). Центр квадрата, в вершинах которого крепятся ножки, совпадает с центром столешницы. Восьмиклассник случайно сломал одну ножку у журнального столика, ему удалось приделать её обратно, но при любой нагрузке на неё она снова отламывается от столешницы. Пришедшая домой мама принесла большой букет и попросила его поставить вазу с букетом на этот стол. Масса вазы с букетом равна \(m = 5M\).
Существуют ли точки на столешнице, в которых можно разместить центр основания вазы с букетом так, чтобы столешница была горизонтальна?
Если да, то укажите все возможные их положения.
▶ПодсказкаСкрыть
Сломанная ножка не несёт силы, поэтому стол опирается на три ножки. Стол не перевернётся, если проекция общего центра масс стола с вазой попадает внутрь треугольника из трёх работающих ножек.
▶ОтветСкрыть
1) да; 2) точки внутри треугольника, ограниченного прямыми \(y = -x\), \(x = -\dfrac{6}{5}a\), \(y = -\dfrac{6}{5}a\) (с началом координат в центре столешницы; вершины треугольника \(\left(\dfrac{6}{5}a; -\dfrac{6}{5}a\right)\), \(\left(-\dfrac{6}{5}a; -\dfrac{6}{5}a\right)\), \(\left(-\dfrac{6}{5}a; \dfrac{6}{5}a\right)\)), включая границу.
▶РешениеСкрыть
Силы, действующие на систему «столешница + ваза»: \(Mg\) приложена к центру столешницы, \(mg\) — в точке расположения вазы; три реакции работающих ножек направлены вверх, реакция сломанной ножки равна нулю. Поэтому столешница опирается на три ножки и не переворачивается, если проекция общего центра масс системы попадает внутрь треугольника, образованного тремя работающими ножками (условие моментов).
Пусть центр столешницы — начало координат, ножки находятся в точках \((\pm a;\,\pm a)\), сломанная ножка — в точке \((a;\,a)\) (рис. 3 официального решения), координаты вазы — \(x\), \(y\). Проекция центра масс системы: \[x_{\text{цм}} = \frac{m x}{M + m} = \frac{5}{6}x, \qquad y_{\text{цм}} = \frac{5}{6}y.\] Треугольник опоры ограничен прямыми \(x = -a\), \(y = -a\) и \(x + y = 0\). Значит, условия: \[\frac{5}{6}x \ge -a \;\Rightarrow\; x \ge -\frac{6}{5}a, \qquad \frac{5}{6}y \ge -a \;\Rightarrow\; y \ge -\frac{6}{5}a, \qquad x + y \le 0.\] Эти три прямые ограничивают треугольник с вершинами \(\left(\frac{6}{5}a;\,-\frac{6}{5}a\right)\), \(\left(-\frac{6}{5}a;\,-\frac{6}{5}a\right)\), \(\left(-\frac{6}{5}a;\,\frac{6}{5}a\right)\); все эти точки лежат внутри столешницы (радиус \(2a\)).
зад 4 Потерянный график
Экспериментатор Глюк решил выпить чай. Он налил воду комнатной температуры \(t_0 = 20\,^\circ\)C из графина в чайник и поставил его на газовую плиту постоянной мощности. Наблюдая за тем, как изменяется температура воды со временем, он строил соответствующий график. Через \(\Delta\tau = 1\) мин после включения плиты Глюк понял, что воды в чайнике мало, и сразу начал доливать в него из графина ещё \(V_{\text{дол}} = 0{,}5\) л воды, не снимая чайник с плиты. Пока он медленно доливал эту порцию воды, он видел, что температура воды оставалась постоянной и равной \(t_1 = 60\,^\circ\)C. После закипания чайника он случайно опалил огнём края получившегося графика (см. рис.) зависимости температуры воды \(t\) от времени \(\tau\). Тепловых потерь нет. Теплоёмкость чайника и испарение воды пренебрежимо малы. Удельная теплоёмкость воды равна \(c = 4200\) Дж/(кг\(\cdot^\circ\)C), плотность воды \(\rho = 1000\) кг/м\(^3\).
Перечертите часть графика к себе в решение и восстановите его полную версию, считая, что включение плиты соответствовало времени \(\tau_0 = 0\).
Какой изначальный объём воды \(V_0\) Глюк налил в чайник?
В какой момент времени чайник начал кипеть?
Какова была мощность плиты \(P\)?
▶ПодсказкаСкрыть
На каждом участке графика тепло от плиты идёт на нагрев всей воды в чайнике. Наклон прямых на первом и третьем участках различается отношением полного объёма к начальному. На втором участке температура постоянна: тепло идёт на нагрев доливаемой воды.
▶ОтветСкрыть
1) график: первый участок — прямая от \((0;\,20\,^\circ\text{C})\) до \((1\text{ мин};\,60\,^\circ\text{C})\), второй — горизонтальный отрезок при \(60\,^\circ\)C от \(1\) до \(2\) мин, третий — прямая от \((2\text{ мин};\,60\,^\circ\text{C})\) до \((4\text{ мин};\,100\,^\circ\text{C})\); 2) \(V_0 = 0{,}5\) л; 3) \(\tau = 4\) мин; 4) \(P = 1400\) Вт.
▶РешениеСкрыть
1) На первом участке тепло от плиты идёт на нагрев воды объёма \(V_0\): \[P\tau = c\rho V_0 (t - t_0), \qquad t(\tau) = t_0 + k_1\tau, \quad k_1 = \frac{P}{c\rho V_0}.\] На третьем участке вся вода (объём \(V_0 + V_{\text{дол}}\)) нагревается от \(t_1\): \(t(\tau) = t_0 + k_3\tau\), \(k_3 = \dfrac{P}{c\rho(V_0 + V_{\text{дол}})}\). Оба графика проходят через точку \((0;\,t_0)\), поэтому, продолжив их, восстанавливаем масштаб по оси времени: одна клетка — \(0{,}5\) мин; по оси температур — \(10\,^\circ\)C. По сохранившейся части графика \(\dfrac{k_1}{k_3} = 2\).
2) Отношение наклонов \(\dfrac{k_1}{k_3} = \dfrac{V_0 + V_{\text{дол}}}{V_0} = 2\), поэтому \(V_{\text{дол}} = V_0 = 0{,}5\) л.
3) Доливание шло в течение \(\Delta\tau = 1\) мин, и температура не менялась, поэтому тепло от плиты шло на нагрев доливаемой воды от \(t_0\) до \(t_1\). Тогда кипение (температура \(100\,^\circ\)C) наступает через \(\tau = 4\) мин после начала нагрева (доливание закончилось на второй минуте, далее ещё \(2\) мин нагрева от \(60\,^\circ\)C до \(100\,^\circ\)C).
4) Из условия доливания \(P\,\Delta\tau = c\rho V_{\text{дол}}(t_1 - t_0)\): \[P = \frac{c\rho V_{\text{дол}}(t_1 - t_0)}{\Delta\tau} = \frac{4200\cdot 0{,}5\cdot 40}{60}~\text{Вт} = 1400~\text{Вт}.\]
Источник: Всероссийская олимпиада школьников по физике, 2025/26, региональный этап, 8 класс, теоретический тур — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.