По прямому шоссе идёт автобус с постоянной скоростью \(v\). Вы заметили автобус, когда тот находился в некоторой точке \(A\). Из какой области около шоссе вы можете догнать этот автобус, если ваша скорость бега \(u < v\)? Нарисуйте эту область для \(u = v/2\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Пусть вы находитесь в точке \(P\); обозначим \(\theta\) угол между направлением \(AP\) и шоссе (по ходу автобуса). Вы бежите по прямой в некоторую точку \(X\) на шоссе. Автобус приходит в \(X\) через время \(AX/v\), вы — через \(PX/u\). Успеть — значит \[ \frac{PX}{u} \le \frac{AX}{v} \quad\Longleftrightarrow\quad \frac{PX}{AX} \le \frac{u}{v}. \]
В треугольнике \(APX\) по теореме синусов \[ \frac{PX}{\sin\theta} = \frac{AX}{\sin\angle APX} \quad\Longrightarrow\quad \frac{PX}{AX} = \frac{\sin\theta}{\sin\angle APX} \ \ge\ \sin\theta, \] причём наименьшее значение \(PX/AX = \sin\theta\) достигается, когда \(\angle APX = 90^\circ\) — бежать надо перпендикулярно направлению \(AP\). (Отдельно заметим: если \(\theta > 90^\circ\) — точка \(P\) «позади» перпендикуляра к шоссе в точке \(A\), — то в треугольнике \(APX\) угол при вершине \(A\) тупой, против него лежит наибольшая сторона, т.е. \(PX > AX\) при любом выборе \(X\), и догнать автобус заведомо нельзя.)
Итак, догнать автобус можно тогда и только тогда, когда \[ \sin\theta \le \frac{u}{v} \quad\Longleftrightarrow\quad \theta \le \alpha = \arcsin\frac{u}{v}. \] Такие точки \(P\) (по обе стороны шоссе) заполняют угол раствора \[ 2\alpha = 2\arcsin\frac{u}{v} \] с вершиной в точке \(A\), биссектриса которого — шоссе (по ходу автобуса).
Для \(u = v/2\): \(\alpha = \arcsin\tfrac12 = 30^\circ\), т.е. область — угол в \(60^\circ\) с вершиной в \(A\) (как на рисунке).