Сверхзвуковой самолёт летит горизонтально. Два микрофона, находящиеся на одной вертикали на расстоянии \(l\) друг от друга, зарегистрировали приход звука от самолёта, пролетающего над микрофонами, с запаздыванием времени \(\Delta t\). Скорость звука в воздухе \(c\). Какова скорость самолёта?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Угол Маха. Построим фронт. Звук, испущенный самолётом в некоторой точке, за время \(t\) расходится сферой радиуса \(ct\); сам самолёт за это время улетает вперёд на \(vt > ct\). Общая огибающая всех сфер — конус с вершиной в самолёте; из прямоугольного треугольника «радиус сферы — путь самолёта»: \[ \sin\alpha = \frac{ct}{vt} = \frac{c}{v}. \]
Запаздывание. Конус движется горизонтально вместе с самолётом. Его образующая наклонена к горизонту под углом \(\alpha\), поэтому точка пересечения фронта с вертикалью микрофонов опускается: когда конус смещается по горизонтали на \(\Delta x\), эта точка опускается на \(\Delta x\,\tg\alpha\). Фронту нужно опуститься на \(l\) — для этого самолёт должен пролететь \(l/\tg\alpha\): \[ \Delta t = \frac{l}{v\,\tg\alpha}. \]
Собираем ответ. Из \(\sin\alpha = c/v\): \[ \tg\alpha = \frac{\sin\alpha}{\sqrt{1-\sin^2\alpha}} = \frac{c}{\sqrt{v^2 - c^2}} \quad\Longrightarrow\quad \Delta t = \frac{l\,\sqrt{v^2-c^2}}{v\,c}. \] Возведём в квадрат и решим относительно \(v\): \[ c^2 v^2 \Delta t^2 = l^2 v^2 - l^2 c^2 \quad\Longrightarrow\quad v^2 \left(l^2 - c^2 \Delta t^2\right) = l^2 c^2, \] \[ v = \frac{c\,l}{\sqrt{l^2 - c^2\,\Delta t^2}}. \]