Савченко · Глава 1. Кинематика · § 1.1. Движение с постоянной скоростью

Савченко, задача 1.1.12

Задача 1.1.12точка пересечения стержней

Условие

Два стержня пересекаются под углом \(2\alpha\) и движутся с равными скоростями \(v\) перпендикулярно самим себе. Какова скорость точки пересечения стержней?

▶Посмотреть решениеСкрыть решение

Решение

Идея Точка пересечения — не «материальная точка», а геометрическое место. По симметрии она бежит вдоль биссектрисы. Свяжем её смещение со смещением стержня: проекция перемещения точки пересечения на нормаль к стержню обязана равняться перемещению самого стержня.

За время \(\Delta t\) каждый стержень сдвигается на \(v\,\Delta t\) по своей нормали (штриховые линии); точка пересечения перемещается по биссектрисе из \(P\) в \(P'\).

Пусть стержни симметричны относительно биссектрисы угла между ними; каждый составляет с ней угол \(\alpha\). Скорости стержней направлены по нормалям «наружу» (см. рисунок), поэтому по симметрии точка пересечения движется вдоль биссектрисы. Обозначим её перемещение за время \(\Delta t\) через \(d = PP'\).

Точка \(P'\) обязана лежать на новом положении первого стержня. Стержень — прямая; она сместилась вдоль своей нормали на \(v\,\Delta t\). Значит, расстояние от \(P\) до новой прямой равно \(v\,\Delta t\), а перемещение \(d\) наклонено к этой прямой: его проекция на нормаль стержня и есть \(v\,\Delta t\). Угол между биссектрисой и стержнем равен \(\alpha\), значит угол между биссектрисой и нормалью равен \(90^\circ - \alpha\), и \[ d\,\cos(90^\circ - \alpha) = v\,\Delta t \quad\Longrightarrow\quad d\,\sin\alpha = v\,\Delta t. \]

Скорость точки пересечения: \[ u = \frac{d}{\Delta t} = \frac{v}{\sin\alpha}. \]

Проверка. Перпендикулярные стержни (\(2\alpha = 90^\circ\)): \(u = v/\sin 45^\circ = v\sqrt2\) — точка пересечения сдвигается по диагонали квадрата со стороной \(v\,\Delta t\), что очевидно и без формулы. При \(\alpha \to 0\) (стержни почти параллельны) \(u \to \infty\) — знакомый «эффект ножниц»: точка реза убегает сколь угодно быстро. При \(2\alpha \to 180^\circ\) стержни вытягиваются почти в одну прямую и \(u \to v\). Все предельные случаи разумны.

Ответ \( u = \dfrac{v}{\sin\alpha} \) — вдоль биссектрисы угла между стержнями.

Следующая задача 1.1.13 →