Савченко · Глава 1. Кинематика · § 1.1. Движение с постоянной скоростью

Савченко, задача 1.1.13

Задача 1.1.13график x(t) → график v(t)

Условие

По графику зависимости координаты от времени постройте график зависимости скорости от времени.

К задаче 1.1.13

▶Посмотреть решениеСкрыть решение

Решение

Идея При равномерном движении скорость — это угловой коэффициент (наклон) графика \(x(t)\): \(v = \Delta x/\Delta t\). График состоит из отрезков прямых — значит, на каждом участке скорость постоянна, а её график — «ступеньки».

График — «пила»: координата всё время ходит между \(-5\) и \(10\) м, так что размах каждого участка один и тот же, \(|\Delta x| = 15\) м. Различаются участки только длительностью: подъёмы короткие (\(0{,}75\) с), спуски вдвое длиннее (\(1{,}5\) с), а вершины пилы приходятся на моменты \(t = -2{,}25;\; -1{,}5;\; 0;\; 0{,}75;\; 2{,}25;\; 3;\; 4{,}5\) с. Считаем наклон:

подъём (например, от \(0\) до \(0{,}75\) с): \(x\) выросла с \(-5\) до \(10\) м за \(0{,}75\) с: \(v = \dfrac{10-(-5)}{0{,}75} = +20\) м/с;

спуск (например, от \(0{,}75\) до \(2{,}25\) с): \(x\) упала с \(10\) до \(-5\) м за \(1{,}5\) с: \(v = \dfrac{-5-10}{1{,}5} = -10\) м/с.

График скорости: ступеньки, равные наклонам участков \(x(t)\).

Проверка. Площадь под \(v(t)\) (со знаком) на любом участке равна изменению координаты: спуск \(-10\cdot 1{,}5 = -15\) м (координата падает с 10 до \(-5\) м), подъём \(+20\cdot 0{,}75 = +15\) м (возвращается с \(-5\) до 10 м) — пила замыкается ✓. Заодно видно, что средняя скорость за период равна нулю.

Ответ см. график: \(v = +20\) м/с на участках подъёма (\(-2{,}25 < t < -1{,}5\); \(0 < t < 0{,}75\); \(2{,}25 < t < 3\) с) и \(v = -10\) м/с на участках спуска (\(-1{,}5 < t < 0\); \(0{,}75 < t < 2{,}25\); \(3 < t < 4{,}5\) с).

Следующая задача 1.1.14 →