Найдите с помощью графиков зависимости координаты от времени момент времени
и место соударения частиц, движущихся по одной прямой. Скорость первой частицы
\(v\), скорость второй \(v/2\). Первая частица в момент времени \(t = 0\) имела
координату \(x = 0\), вторая в момент времени \(t_1\) — координату \(x = a\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Графики движения обеих частиц — прямые; соударение — точка их пересечения.
Запишем уравнения прямых и найдём пересечение.
Соударение — пересечение графиков движения.
Уравнения движения (графики — прямые):
\[ x_1(t) = v\,t, \qquad x_2(t) = a + \frac{v}{2}\,(t - t_1). \]
В момент соударения \(t'\) координаты равны:
\[ v\,t' = a + \frac{v}{2}\,(t' - t_1)
\quad\Longrightarrow\quad
\frac{v}{2}\,t' = a - \frac{v\,t_1}{2}
\quad\Longrightarrow\quad
t' = \frac{2a - v\,t_1}{v}. \]
Место соударения — подставим \(t'\) в \(x_1\):
\[ x' = v\,t' = 2a - v\,t_1. \]
Проверка. Встреча впереди (\(t' > 0\)) существует,
если \(2a > vt_1\) — первая частица должна догонять вторую с «форой» не
слишком большой. Если \(a = vt_1\) (вторая стартует прямо с траектории первой
в момент, когда та уже там), то \(t' = t_1\), \(x' = a\) — встреча в точке
старта второй. Сходится.
Ответ
\( t' = \dfrac{2a - v t_1}{v},\qquad x' = 2a - v t_1 \)
(пересечение прямых \(x_1 = vt\) и \(x_2 = a + v(t-t_1)/2\) на графике).