а. Из взрывчатого вещества изготовлен стержень длины \(l\). Скорость детонации (скорость вовлечения во взрыв новых участков взрывчатого вещества) равна \(v\), а скорость разлёта продуктов взрыва \(u < v\). Как изменяется со временем область, занятая продуктами взрыва, если стержень подрывается с одного из концов? Сделайте рисунок.
б*. Из этого же взрывчатого вещества нужно изготовить такую тонкостенную коническую оболочку, чтобы при подрыве её с вершины продукты взрыва одновременно ударили по плите. Какой угол между осью конуса и образующей нужно выбрать?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
а. Стержень. Пусть детонация началась в момент \(t=0\) на левом конце (точка \(x=0\)). Участок стержня с координатой \(x\) взрывается в момент \(x/v\), и к моменту \(t\) его продукты занимают шар радиуса \(u\,(t - x/v)\) с центром в точке \(x\).
Пока детонация ещё бежит по стержню (\(t < l/v\)):
— вокруг левого конца выросла самая большая сфера радиуса \(ut\);
— у самого фронта (точка \(x = vt\)) сфера имеет нулевой радиус;
— все промежуточные сферы вписаны в конус с вершиной на фронте детонации.
Половинный угол конуса \(\theta\) найдём из прямоугольного треугольника: сфера, родившаяся в точке \(x\), выросла до радиуса \(u(t-x/v)\), а её центр отстоит от вершины конуса на \(v(t - x/v)\). Отношение катета к гипотенузе одно и то же для всех сфер: \[ \sin\theta = \frac{u\,(t-x/v)}{v\,(t-x/v)} = \frac{u}{v}, \] поэтому конус общий — это и есть огибающая. Итак, при \(t < l/v\) область продуктов — конус с вершиной на расстоянии \(vt\) от подорванного конца, гладко переходящий в сферу радиуса \(ut\) вокруг этого конца.
При \(t > l/v\) детонация закончилась: остаются две сферы — радиуса \(ut\) вокруг левого конца и радиуса \(u(t - l/v)\) вокруг правого, — соединённые общей касательной конической поверхностью.
б*. Коническая оболочка. Пусть образующая конуса составляет угол \(\alpha\) с осью, высота конуса \(H\), детонация идёт от вершины вдоль образующей со скоростью \(v\).
Элемент оболочки, отстоящий на \(s\) от вершины вдоль образующей, детонирует в момент \(s/v\). Его высота над плитой равна \(H - s\cos\alpha\). Продукты разлетаются сферой со скоростью \(u\); плиты первой касается нижняя точка сферы, т.е. продукты «падают» на плиту по кратчайшей — вертикали. Момент удара продуктов этого элемента: \[ t(s) = \underbrace{\frac{s}{v}}_{\text{детонация дошла}} + \underbrace{\frac{H - s\cos\alpha}{u}}_{\text{полёт продуктов}} = \frac{H}{u} + s\left(\frac{1}{v} - \frac{\cos\alpha}{u}\right). \]
Это линейная функция \(s\). Чтобы все элементы ударили одновременно, коэффициент при \(s\) должен обратиться в нуль: \[ \frac{1}{v} = \frac{\cos\alpha}{u} \quad\Longrightarrow\quad \boxed{\ \cos\alpha = \frac{u}{v}\ } \]