Автомобиль удаляется со скоростью \(v\) от длинной стены, двигаясь под углом \(\alpha\) к ней. В момент, когда расстояние до стены равно \(l\), шофёр подаёт короткий звуковой сигнал. Какое расстояние пройдёт автомобиль до момента, когда шофёр услышит эхо? Скорость звука в воздухе \(c\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Пусть сигнал подан в точке \(E\), а эхо услышано через время \(t\) в точке \(C\). Разложим перемещение машины на составляющие вдоль стены и поперёк: \[ \text{вдоль стены: } vt\cos\alpha, \qquad \text{от стены: } vt\sin\alpha. \]
Изображение \(E'\) лежит за стеной на расстоянии \(l\), т.е. на \(2l\) от точки \(E\) по перпендикуляру. Расстояние по перпендикуляру от \(E'\) до \(C\): \(2l + vt\sin\alpha\); вдоль стены: \(vt\cos\alpha\). Эхо в пути время \(t\), значит \(E'C = ct\). По теореме Пифагора: \[ c^2t^2 = \left(2l + vt\sin\alpha\right)^2 + \left(vt\cos\alpha\right)^2. \]
Раскроем скобки (\(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1\)): \[ c^2t^2 = 4l^2 + 4lv\sin\alpha\; t + v^2t^2 \quad\Longrightarrow\quad (c^2 - v^2)\,t^2 - 4lv\sin\alpha\; t - 4l^2 = 0. \]
Квадратное уравнение относительно \(t\); берём положительный корень: \[ t = \frac{4lv\sin\alpha + \sqrt{16l^2v^2\sin^2\alpha + 16l^2(c^2-v^2)}}{2(c^2-v^2)} = \frac{2l\left(v\sin\alpha + \sqrt{c^2 - v^2\cos^2\alpha}\right)}{c^2-v^2}. \]
Искомое расстояние: \[ x = vt = \frac{2lv\left(v\sin\alpha + \sqrt{c^2 - v^2\cos^2\alpha}\right)}{c^2 - v^2}. \]