На какой угол изменится направление скорости шара после двух упругих ударов о стенки, угол между которыми равен \(\alpha\)? Как полетит шар, если угол \(\alpha = \pi/2\)? Движение происходит в плоскости, перпендикулярной стенкам. При упругом ударе о гладкую неподвижную стенку угол падения шара равен углу отражения.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
При каждом ударе составляющая скорости вдоль стенки сохраняется, а перпендикулярная стенке меняет знак. Это в точности зеркальное отражение вектора скорости относительно направления стенки.
Проследим за углами. Будем измерять направление скорости углом \(\gamma\), отсчитанным от первой стенки (с учётом знака). Отражение относительно первой стенки меняет знак этого угла: \[ \gamma \ \longrightarrow\ -\gamma. \] Вторая стенка составляет с первой угол \(\alpha\). Отражение относительно неё зеркально переворачивает направление вокруг уровня \(\alpha\): угол \(\delta\) относительно второй стенки переходит в \(-\delta\), а в пересчёте на первую стенку это \[ \gamma \ \longrightarrow\ 2\alpha - \gamma. \] Выполним оба отражения подряд: \[ \gamma \ \xrightarrow{\ \text{удар 1}\ }\ -\gamma \ \xrightarrow{\ \text{удар 2}\ }\ 2\alpha - (-\gamma) = \gamma + 2\alpha. \] Направление повернулось ровно на \(2\alpha\) — независимо от угла влёта \(\gamma\). (Это общий факт: композиция двух осевых симметрий — поворот на удвоенный угол между осями.)
Случай \(\alpha = \pi/2\). Поворот на \(2\alpha = 180^\circ\): шар летит точно в обратном направлении (антипараллельно), лишь сместившись вбок. На этом основаны уголковые отражатели — катафоты велосипедов и светоотражатели на Луне (см. также задачу 1.1.21).