По биллиардному столу со сторонами \(a\) и \(b\) пускают шар от середины стороны \(b\). Под каким углом к борту стола должен начать двигаться шар, чтобы вернуться в ту же точку, из которой он начал своё движение?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Введём координаты: стол — прямоугольник ширины \(b\) (вдоль оси \(x\)) и высоты \(a\); шар стартует из точки \(O = (b/2;\,0)\) на борту \(b\).
Развёртка. Каждый удар о борт заменим отражением стола: траектория в развёртке — прямая. Шар вернётся в точку \(O\), если эта прямая приходит в какое-нибудь зеркальное изображение точки \(O\) в сетке отражённых столов.
Где образы точки \(O\)? Отражения относительно горизонтальных бортов (\(y=0\) и \(y=a\)) переводят \(y_O=0\) в чётные кратные \(a\): \(y = 2ma\). Отражения относительно вертикальных бортов дают \(x = 2kb \pm b/2\). Итак, образы — точки \(\left(2kb \pm \tfrac{b}{2};\; 2ma\right)\), \(k, m\) — целые.
Угол. Прямая из \((b/2;0)\) в образ имеет наклон к борту \(b\): \[ \tg\varphi = \frac{2ma}{\left(2kb \pm \tfrac{b}{2}\right) - \tfrac{b}{2}} = \frac{2ma}{2kb}\ \text{или}\ \frac{2ma}{(2k-1)\,b}. \] Оба варианта объединяются одной формулой со знаменателем «любое целое \(n\)»: \[ \tg\varphi = \frac{2ma}{n\,b}, \qquad m,\ n \text{ — целые числа}. \]
На рисунке показан простейший случай \(m=1\), \(n=2\): \(\tg\varphi = a/b\) — шар обегает ромб, коснувшись трёх бортов, и возвращается в точку старта.