Радиолокатор определяет координаты летящего самолёта, измеряя угол между направлением на Северный полюс и направлением на самолёт и расстояние от радиолокатора до самолёта. В некоторый момент времени положение самолёта определялось координатами: угол \(\alpha_1 = 44^\circ\), расстояние \(R_1 = 100\) км. Через промежуток времени 5 с после этого момента координаты самолёта на радиолокаторе: угол \(\alpha_2 = 46^\circ\), расстояние \(R_2 = 100\) км. Изобразите в декартовой системе координат с осью \(y\), направленной на север, и с радиолокатором в начале координат положение самолёта в оба момента времени; определите модуль и направление его скорости. Угол отсчитывайте по часовой стрелке.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Перемещение. Расстояние до самолёта не изменилось: \(R_1 = R_2 = R = 100\) км, — обе точки лежат на окружности радиуса \(R\) с центром в радиолокаторе. Направление на самолёт повернулось на \(\Delta\alpha = 46^\circ - 44^\circ = 2^\circ\). Перемещение — хорда между точками 1 и 2. Из равнобедренного треугольника с боковыми сторонами \(R\) и углом \(\Delta\alpha\) при вершине: \[ |\Delta \vec r\,| = 2R\sin\frac{\Delta\alpha}{2} = 2\cdot 100\ \text{км}\cdot\sin 1^\circ. \]
Угол мал, поэтому \(\sin 1^\circ \approx \dfrac{\pi}{180} \approx 0{,}0175\) (хорда практически совпадает с дугой \(R\,\Delta\alpha\)): \[ |\Delta \vec r\,| \approx 2\cdot 100\cdot 0{,}0175 = 3{,}5\ \text{км}. \]
Скорость. \[ v = \frac{|\Delta \vec r\,|}{\Delta t} = \frac{3{,}5\ \text{км}}{5\ \text{с}} = 0{,}7\ \text{км/с} = 700\ \text{м/с}. \]
Направление. Хорда 1→2 перпендикулярна биссектрисе угла между направлениями на точки, т.е. направлению с азимутом \(45^\circ\) (северо-восток). Повернув северо-восток на \(90^\circ\) по часовой стрелке, получаем азимут \(135^\circ\) — самолёт летит на юго-восток.