Через открытое окно в комнату влетел жук. Расстояние от жука до потолка менялось со скоростью 1 м/с, расстояние до стены, противоположной окну, — со скоростью 2 м/с, до боковой стены — со скоростью 2 м/с. Через 1 с полёта жук попал в угол между потолком и боковой стеной комнаты. Определите скорость полёта жука и место в окне, через которое он влетел в комнату. Высота комнаты 2,5 м, ширина 4 м, длина 4 м.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Скорость. Направим оси по рёбрам комнаты: ось \(x\) — к боковой стене, ось \(y\) — вглубь комнаты (к противоположной стене), ось \(z\) — вверх, к потолку. Расстояние до каждой из трёх взаимно перпендикулярных плоскостей меняется только за счёт соответствующей компоненты скорости. Значит, \[ |v_x| = 2\ \text{м/с},\qquad |v_y| = 2\ \text{м/с},\qquad |v_z| = 1\ \text{м/с}, \] а модуль скорости (жук летит по прямой — все три расстояния меняются равномерно): \[ v = \sqrt{v_x^2+v_y^2+v_z^2} = \sqrt{2^2+2^2+1^2} = \sqrt{9} = 3\ \text{м/с}. \]
Место влёта. Рассуждаем «с конца». В момент удара жук сидит на ребре между потолком и боковой стеной: расстояния до потолка и до боковой стены равны нулю. Эти расстояния уменьшались со скоростями 1 м/с и 2 м/с соответственно, а летел жук ровно 1 с. Значит, в момент влёта:
расстояние до потолка \(= 1\ \text{м/с}\cdot 1\ \text{с} = 1\ \text{м}\),
расстояние до боковой стены \(= 2\ \text{м/с}\cdot 1\ \text{с} = 2\ \text{м}\).
Итак, жук влетел через точку окна, расположенную в 1 м от потолка и в 2 м от боковой стены. Заодно проверим, что это возможно: высота комнаты 2,5 м \(> 1\) м, ширина 4 м \(> 2\) м — точка действительно в пределах стены с окном. За 1 с жук продвинулся вглубь комнаты на 2 м \(< 4\) м — до противоположной стены не долетел, всё согласуется.