Внутри закреплённого гладкостенного цилиндра радиуса \(R\) летает маленький шарик, упруго отражаясь от стенок так, что минимальное расстояние от него до оси цилиндра равно \(h\). Какую долю времени он находится на расстоянии от оси цилиндра, меньшем \(r\), но большем \(h\)?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Почему все хорды одинаковы. Если у скорости есть составляющая вдоль оси цилиндра, она постоянна и на доли времени не влияет, поэтому следим за проекцией движения на поперечное сечение: шарик пролетает хорду, упруго отражается, летит по следующей хорде. При упругом отражении угол между хордой и радиусом, проведённым в точку удара, сохраняется — значит, все хорды удалены от центра на одно и то же расстояние. Оно и есть минимальное расстояние до оси: середина хорды находится на расстоянии \(h\) от центра.
Считаем доли на одной хорде. Отсчитаем расстояние \(s\) вдоль хорды от её середины. Точка хорды на расстоянии \(s\) удалена от центра на \(\sqrt{h^2+s^2}\) (теорема Пифагора). Поэтому:
вся хорда (до стенки \(R\)): \(s\) пробегает от \(-\sqrt{R^2-h^2}\) до
\(+\sqrt{R^2-h^2}\), длина \(2\sqrt{R^2-h^2}\);
внутри окружности \(r\): \(|s| \le \sqrt{r^2-h^2}\), длина \(2\sqrt{r^2-h^2}\).
Шарик пробегает хорду с постоянной по модулю скоростью, значит, доля времени равна доле длины: \[ \frac{\Delta t}{t} = \frac{2\sqrt{r^2-h^2}}{2\sqrt{R^2-h^2}} = \sqrt{\frac{r^2-h^2}{R^2-h^2}}. \] Каждая следующая хорда устроена так же, поэтому это и есть искомая доля полного времени.