Стрелок пытается попасть в диск радиуса \(R\), который движется от одной стенки к другой с постоянной по модулю скоростью так быстро, что за ним нельзя уследить. Нарисуйте график зависимости вероятности попадания пули в диск от расстояния между точкой прицеливания и левой стенкой. Выстрелы производятся на высоте \(R\) от пола перпендикулярно направлению движения диска. В какой точке прицеливания вероятность попадания наименьшая? наибольшая? Чему они равны? Разберите случаи \(L > 4R\), \(4R > L > 2R\), где \(L\) — расстояние между стенками.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Распределение центра диска. Центр пробегает отрезок от \(R\) до \(L-R\) (длины \(L-2R\)) с постоянной по модулю скоростью, мгновенно отражаясь у стенок. За большое время он проводит одинаковое время на равных отрезках — распределение центра равномерно на \([R,\ L-R]\).
Вероятность попадания. Пуля, нацеленная в точку \(x\), поражает диск, если центр оказался в полосе \([x-R,\ x+R]\). Вероятность — доля отрезка \([R,\ L-R]\), накрытая этой полосой: \[ P(x) = \frac{\bigl|\,[x-R,\ x+R]\cap[R,\ L-R]\,\bigr|}{L-2R}. \]
Случай \(L > 4R\). Полоса шириной \(2R\) короче отрезка \(L-2R\), поэтому:
у стенок \(P(0) = P(L) = 0\) (диск не может прижаться центром к стенке ближе
чем на \(R\), а пуля у стенки задевает диск лишь краем);
при \(0 \le x \le 2R\): накрыт кусок \([R,\ x+R]\), т.е. \(P = \dfrac{x}{L-2R}\)
— линейный рост;
при \(2R \le x \le L-2R\): полоса целиком внутри, \(P = \dfrac{2R}{L-2R}\) —
плато (наибольшая вероятность);
при \(x \ge L-2R\) — симметричный линейный спад к нулю.
Случай \(4R > L > 2R\). Теперь полоса \(2R\) длиннее отрезка \(L-2R\), и в середине она накрывает его целиком: при \(L-2R \le x \le 2R\) попадание достоверно, \(P = 1\). К стенкам вероятность спадает линейно: \(P = \dfrac{x}{L-2R}\) при \(x \le L-2R\).