Савченко · Глава 1. Кинематика · § 1.2. Движение с переменной скоростью

Савченко, задача 1.2.1

Задача 1.2.1дрейф электрона

Условие

На рисунке изображена траектория электрона, который дрейфует вдоль плоскости раздела областей с различными магнитными полями. Его траектория состоит из чередующихся полуокружностей радиуса \(R\) и \(r\). Скорость электрона постоянна по модулю и равна \(v\). Найдите среднюю скорость электрона за большой промежуток времени.

К задаче 1.2.1. За «период» электрон смещается вдоль границы на \(2R-2r\).

▶Посмотреть решениеСкрыть решение

Решение

Идея Средняя скорость — это перемещение, делённое на время. Движение периодично: достаточно рассмотреть один «период» — большую полуокружность и следующую за ней маленькую.

За один период электрон проходит большую полуокружность (смещаясь вдоль границы на её диаметр \(2R\) вперёд) и маленькую (смещаясь на \(2r\) назад). Перемещение за период: \[ \Delta x = 2R - 2r \] — вдоль границы раздела.

Длина пути за период — две полуокружности, а модуль скорости постоянен: \[ T = \frac{\pi R + \pi r}{v}. \]

За большое время набирается много одинаковых периодов, поэтому средняя скорость равна отношению перемещения за период к его длительности: \[ v_{\text{ср}} = \frac{\Delta x}{T} = \frac{2(R-r)\,v}{\pi (R+r)} = \frac{2}{\pi}\,v\,\frac{R-r}{R+r}, \] и направлена она вдоль границы раздела (в сторону «шагания» больших полуокружностей).

Проверка. При \(R = r\) дрейфа нет: \(v_{\text{ср}} = 0\) — электрон топчется на месте, рисуя одинаковые полуокружности туда-обратно. При \(r \to 0\): \(v_{\text{ср}} \to 2v/\pi\) — средняя скорость движения по полуокружностям диаметра \(2R\) «в одну сторону». Всё сходится.

Ответ \( v_{\text{ср}} = \dfrac{2}{\pi}\,v\,\dfrac{R-r}{R+r} \); направлена вдоль границы раздела полей.

Следующая задача 1.2.2 →