Три микрофона, расположенные на одной прямой в точках \(A\), \(B\), \(C\), зарегистрировали последовательно в моменты времени \(t_A > t_B > t_C\) звук от взрыва, который произошёл в точке \(O\), лежащей на отрезке \(AC\). Найдите отрезок \(AO\), если \(AB = BC = L\). В какой момент времени произошёл взрыв?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Порядок прихода звука \(t_C < t_B < t_A\) означает, что \(O\) ближе всего к \(C\) и дальше всего от \(A\), т.е. \(O\) лежит между \(B\) и \(C\): расстояния до микрофонов равны \[ AO,\qquad BO = AO - L,\qquad CO = 2L - AO. \]
Пусть взрыв произошёл в момент \(t_0\), скорость звука \(c\). Тогда \[ t_A = t_0 + \frac{AO}{c},\qquad t_B = t_0 + \frac{AO-L}{c},\qquad t_C = t_0 + \frac{2L-AO}{c}. \]
Шаг 1. Скорость звука. Вычтем второе уравнение из первого — неизвестные \(t_0\) и \(AO\) уйдут: \[ t_A - t_B = \frac{L}{c} \quad\Longrightarrow\quad c = \frac{L}{t_A - t_B}. \]
Шаг 2. Положение точки \(O\). Теперь вычтем третье из первого: \[ t_A - t_C = \frac{AO - (2L - AO)}{c} = \frac{2\,AO - 2L}{c} \quad\Longrightarrow\quad AO = L + \frac{c\,(t_A - t_C)}{2}. \] Подставим \(c\) из шага 1: \[ AO = L + \frac{L\,(t_A-t_C)}{2\,(t_A-t_B)} = L\,\frac{2(t_A-t_B) + (t_A-t_C)}{2(t_A-t_B)} = L\,\frac{3t_A - 2t_B - t_C}{2\,(t_A - t_B)}. \]
Шаг 3. Момент взрыва. Удобнее всего выразить из уравнения для \(t_B\): \[ t_0 = t_B - \frac{AO - L}{c} = t_B - \frac{1}{c}\cdot\frac{c(t_A-t_C)}{2} = t_B - \frac{t_A - t_C}{2}. \]