Спортсмены бегут колонной длины \(l\) со скоростью \(v\). Навстречу бежит тренер со скоростью \(u < v\). Каждый спортсмен, поравнявшись с тренером, разворачивается и начинает бежать назад с той же по модулю скоростью. Какова будет длина колонны, когда все спортсмены развернутся?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Направим ось \(x\) по ходу колонны и начнём отсчёт времени в момент, когда тренер поравнялся с головным бегуном; пусть это произошло в точке \(x=0\). Замыкающий в этот момент находится в точке \(x=-l\).
Когда развернётся последний? Тренер и замыкающий движутся навстречу друг другу, скорость сближения \(v+u\), расстояние между ними \(l\): \[ T = \frac{l}{v+u}. \] Место встречи — там, куда тренер успел дойти: \[ x_{\text{посл}} = -uT = -\frac{ul}{v+u}. \]
Где к этому времени головной? Он развернулся ещё в момент \(t=0\) в точке \(x=0\) и всё время \(T\) бежал назад со скоростью \(v\): \[ x_{\text{перв}} = -vT = -\frac{vl}{v+u}. \]
Длина колонны. Теперь вся колонна бежит назад; впереди неё — бывший головной, позади — только что развернувшийся замыкающий: \[ l' = x_{\text{посл}} - x_{\text{перв}} = \frac{vl}{v+u} - \frac{ul}{v+u} = l\,\frac{v-u}{v+u}. \]