С подводной лодки, погружающейся вертикально и равномерно, испускаются звуковые импульсы длительностью \(\tau_0\). Длительность приёма отражённого от дна импульса \(\tau\). Скорость звука в воде \(c\). С какой скоростью погружается подводная лодка?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Пусть лодка погружается со скоростью \(v\).
Излучение. Передний фронт импульса ушёл вниз в момент \(t=0\); задний — в момент \(\tau_0\), но уже из точки, которая на \(v\tau_0\) ниже. К моменту \(\tau_0\) передний фронт ушёл на глубину \(c\tau_0\), поэтому пространственная длина импульса в воде \[ s = c\tau_0 - v\tau_0 = (c-v)\,\tau_0 . \]
Отражение. Дно неподвижно: оно просто «разворачивает» импульс вверх, не меняя его длину \(s\).
Приём. Импульс длиной \(s\) поднимается со скоростью \(c\), а лодка идёт ему навстречу со скоростью \(v\). Приём длится, пока мимо лодки не пройдёт весь импульс — от переднего фронта до заднего. Лодка и задний фронт сближаются со скоростью \(c+v\): \[ \tau = \frac{s}{c+v} = \tau_0\,\frac{c-v}{c+v}. \]
Выражаем скорость. \[ \tau (c+v) = \tau_0 (c - v) \quad\Longrightarrow\quad v\,(\tau_0 + \tau) = c\,(\tau_0 - \tau) \quad\Longrightarrow\quad v = c\,\frac{\tau_0 - \tau}{\tau_0 + \tau}. \]