а. В коническом сосуде уровень воды поднимается с постоянной скоростью \(v_0\). Как зависит от времени скорость поступления воды в сосуд через трубку сечения \(s\)? В нулевой момент времени сосуд пуст.
б. Струя масла, попадающая на поверхность воды, растекается по ней круглым пятном толщины \(h\). Как зависит от времени скорость движения границы пятна, если в единицу времени поступает объём масла \(q\)? В начальный момент времени радиус пятна равен нулю.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
а. Конус. Обозначим \(\alpha\) угол между осью конуса и образующей. К моменту \(t\) уровень поднялся на \(h = v_0 t\), и радиус поверхности воды равен \[ r = h\,\tg\alpha = v_0 t\,\tg\alpha. \] За малое время \(\Delta t\) уровень поднимается на \(v_0\Delta t\), т.е. доливается тонкий слой объёмом \[ \Delta V = \pi r^2 \cdot v_0\,\Delta t. \] Расход воды (объём в единицу времени): \[ Q = \frac{\Delta V}{\Delta t} = \pi r^2 v_0 = \pi v_0^3 t^2 \tg^2\alpha. \] Этот объём проходит через трубку сечения \(s\), значит, скорость воды в трубке \[ v = \frac{Q}{s} = \frac{\pi v_0^3\, t^2 \tg^2\alpha}{s} \] — растёт со временем квадратично.
б. Масляное пятно. Объём пятна к моменту \(t\): \(V = qt\). С другой стороны, пятно — диск радиуса \(R\) и толщины \(h\): \(V = \pi R^2 h\). Отсюда \[ R = \sqrt{\frac{q\,t}{\pi h}}. \] Скорость границы найдём из баланса объёма: за \(\Delta t\) поступает \(q\,\Delta t\), и весь этот объём «наращивает» пятно по краю — кольцом длины \(2\pi R\), толщины \(h\) и ширины \(v\,\Delta t\): \[ q\,\Delta t = 2\pi R\,h\cdot v\,\Delta t \quad\Longrightarrow\quad v = \frac{q}{2\pi R h} = \frac{q}{2\pi h}\sqrt{\frac{\pi h}{q\,t}} = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{q}{\pi h\,t}}. \] Граница пятна замедляется как \(1/\sqrt{t}\) (радиус растёт как \(\sqrt{t}\)).