Мальчик надувает воздушный шарик. При радиусе шарика 10 см скорость
увеличения радиуса равна 1 мм/с. Какой объём воздуха ежесекундно выдыхает
мальчик?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
За секунду шарик «одевается» в тонкий сферический слой: площадь \(4\pi R^2\),
толщина \(\Delta R\). Объём слоя и есть выдыхаемый за секунду воздух.
За \(\Delta t\) нарастает слой толщиной \(\Delta R\).
За малое время \(\Delta t\) радиус увеличивается на \(\Delta R = u\,\Delta t\),
где \(u = 1\) мм/с \(= 0{,}1\) см/с. Прирост объёма — тонкий сферический слой:
\[ \Delta V = 4\pi R^2\,\Delta R = 4\pi R^2 u\,\Delta t. \]
Расход воздуха:
\[ q = \frac{\Delta V}{\Delta t} = 4\pi R^2 u
= 4\pi\cdot (10\ \text{см})^2 \cdot 0{,}1\ \text{см/с}
= 40\pi \approx 126\ \text{см}^3/\text{с}. \]
Проверка. 126 см³ — примерно полстакана в секунду:
для надувания шарика вполне правдоподобно.
Ответ
\( q = 4\pi R^2 u = 40\pi \approx 126\ \text{см}^3/\text{с} \).