По графику зависимости скорости от времени постройте графики зависимости
от времени координаты и ускорения, если \(x(0) = 0\).
К задаче 1.2.18 (график перерисован по 3-му изданию).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Координата — накопленная площадь под «колоколом» (получается плавная
«ступенька»); ускорение — наклон \(v(t)\): положительно до вершины,
отрицательно после, а по модулю максимально в точках наибольшей крутизны.
Координата — плавная «ступенька» (\(x(0)=0\): кривая проходит
через начало координат); ускорение меняет знак в момент максимума скорости.
Координата. Пока скорость мала (левый «хвост» колокола), координата
почти не меняется; в районе максимума скорости \(x\) растёт быстрее всего
(точка перегиба); затем рост снова замирает. Условие \(x(0)=0\) сдвигает
кривую по вертикали: слева от нуля площадь «отрицательная по ходу времени»,
поэтому при \(t < 0\) координата отрицательна.
Ускорение. Это наклон графика скорости: \(a > 0\) на подъёме
колокола, \(a = 0\) в его вершине, \(a < 0\) на спуске. Наибольший модуль
ускорения — в точках наибольшей крутизны \(v(t)\) (точках перегиба колокола),
симметрично по обе стороны от вершины.
Ответ
см. рисунок: \(x(t)\) — плавная «ступенька», проходящая через нуль при
\(t=0\); \(a(t)\) — волна: положительная до вершины колокола, отрицательная
после, с нулём в момент максимума скорости.