Время отправления электрички по расписанию 12.00. На ваших часах 12.00, но мимо вас уже начинает проезжать предпоследний вагон, который движется мимо вас в течение времени \(t_1\). Последний вагон проходит мимо вас в течение времени \(t_2\). Электричка отправилась вовремя и движется равноускоренно. На какое время отстают ваши часы?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Пусть \(L\) — длина вагона, \(a\) — ускорение, \(T\) — истинное время (после отправления), когда на ваших часах было 12.00, т.е. когда мимо начал проходить предпоследний вагон. Путь поезда от старта: \(s(t) = \tfrac12 a t^2\). Пока мимо проходит один вагон, поезд продвигается ровно на \(L\): \[ \frac{a}{2}(T+t_1)^2 - \frac{a}{2}T^2 = L \qquad\text{(предпоследний)}, \] \[ \frac{a}{2}(T+t_1+t_2)^2 - \frac{a}{2}(T+t_1)^2 = L \qquad\text{(последний)}. \]
Левые части равны — приравняем и сократим на \(a/2\): \[ (T+t_1)^2 - T^2 = (T+t_1+t_2)^2 - (T+t_1)^2, \] \[ 2(T+t_1)^2 = T^2 + (T+t_1+t_2)^2. \] Раскроем скобки: \[ 2T^2 + 4Tt_1 + 2t_1^2 = 2T^2 + 2T(t_1+t_2) + (t_1+t_2)^2, \] \[ 2T(t_1 - t_2) = (t_1+t_2)^2 - 2t_1^2 = 2t_1t_2 + t_2^2 - t_1^2, \] \[ T = \frac{2t_1t_2 + t_2^2 - t_1^2}{2\,(t_1 - t_2)}. \]
Это и есть искомое отставание часов: истинное время в момент «ваших 12.00» равно \(12.00 + T\).