Савченко · Глава 1. Кинематика · § 1.3. Движение в поле тяжести. Криволинейное движение

Савченко, задача 1.3.1

Задача 1.3.1два шарика вверх

Условие

Из одной и той же точки вертикально вверх с интервалом времени \(\Delta t\) выброшены два шарика со скоростью \(v\). Через какое время после вылета второго шарика они столкнутся?

К задаче 1.3.1. В момент вылета второго шарика первый уже поднялся на \(s_0\) и летит медленнее — со скоростью \(v - g\Delta t\).

▶Посмотреть решениеСкрыть решение

Решение

Идея У обоих шариков одно и то же ускорение \(g\), поэтому их относительное движение равномерно! Достаточно найти относительную скорость и начальное расстояние.

В момент вылета второго шарика первый уже летит время \(\Delta t\): его скорость \(v - g\Delta t\), а высота \[ s_0 = v\,\Delta t - \frac{g\,\Delta t^2}{2}. \]

Скорость второго в этот момент равна \(v\). Относительная скорость сближения: \[ v_{\text{отн}} = v - (v - g\Delta t) = g\,\Delta t \] — и она не меняется со временем: ускорения шариков одинаковы и сокращаются. Второй шарик догоняет первый равномерно!

Время до столкновения: \[ t = \frac{s_0}{v_{\text{отн}}} = \frac{v\Delta t - g\Delta t^2/2}{g\Delta t} = \frac{v}{g} - \frac{\Delta t}{2}. \]

Проверка. Момент столкновения (по часам первого шарика): \(t + \Delta t = v/g + \Delta t/2\) — симметрично относительно вершины \(v/g\) первого шарика: встреча происходит на полпути «по времени» между вершинами их траекторий, что и следовало ожидать из симметрии. При \(\Delta t \to 2v/g\) время \(t \to 0\): первый как раз падает обратно в точку старта — столкновение прямо на земле.

Ответ \( t = \dfrac{v}{g} - \dfrac{\Delta t}{2} \).

Следующая задача 1.3.2 →