а. Из верхней точки окружности по гладкому жёлобу под углом \(\varphi\) к вертикали начинает скользить шарик. За какое время он достигнет окружности, если её диаметр \(D\)?
б. Из точки \(A\) по спицам с разным наклоном одновременно начинают скользить без трения маленькие бусинки. На какой кривой будут находиться бусинки в момент времени \(t\)?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
а. Ускорение шарика вдоль гладкого жёлоба — проекция \(g\): \[ a = g\cos\varphi. \] Длина хорды окружности диаметра \(D\), проведённой из верхней точки под углом \(\varphi\) к вертикали (диаметру): \[ L = D\cos\varphi \] (вписанный угол, опирающийся на диаметр, — прямой, поэтому хорда — катет прямоугольного треугольника с гипотенузой \(D\)).
Из \(L = \dfrac{a t^2}{2}\): \[ D\cos\varphi = \frac{g\cos\varphi}{2}\,t^2 \quad\Longrightarrow\quad t = \sqrt{\frac{2D}{g}} \] — время одно и то же для всех хорд! (При \(\varphi = 0\) это обычное свободное падение с высоты \(D\).)
б. Обратим рассуждение. За время \(t\) бусинка на спице с наклоном \(\varphi\) проходит путь \[ s(\varphi) = \frac{g\cos\varphi}{2}\,t^2 = \frac{g t^2}{2}\cos\varphi. \] Это в точности длина хорды окружности диаметра \(gt^2/2\) с верхней точкой \(A\). Значит, в момент \(t\) все бусинки лежат на такой окружности; со временем она раздувается (диаметр растёт как \(t^2\)), оставаясь «подвешенной» верхней точкой в \(A\).