Под каким углом к вертикали должен быть направлен из точки \(A\) гладкий жёлоб, чтобы шарик соскользнул по нему на наклонную плоскость за наименьшее время? Плоскость наклонена к горизонту под углом \(\varphi\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Пусть окружность с верхней точкой \(A\) коснулась плоскости в точке \(T\), её центр \(O\) лежит на вертикали под \(A\). Радиус \(OT\) перпендикулярен плоскости, а нормаль к плоскости составляет с вертикалью угол \(\varphi\) (на сколько наклонена плоскость, на столько же отклонена её нормаль). Значит, \(\angle AOT = 180^\circ - \varphi\).
Треугольник \(AOT\) равнобедренный (\(OA = OT\) — радиусы), поэтому углы при основании \(AT\) равны: \[ \angle OAT = \frac{180^\circ - \angle AOT}{2} = \frac{\varphi}{2}. \] Но \(\angle OAT\) — это и есть угол между жёлобом \(AT\) и вертикалью \(AO\).