Задача 1.3.4пролетая мимо точек
Условие
Свободно падающее тело пролетело мимо точки \(A\) со скоростью \(v_A\). С какой скоростью оно пролетит мимо точки \(B\), находящейся на \(h\) ниже \(A\)?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Связь «скорость–путь» для равноускоренного движения: исключим время из
уравнений для скорости и перемещения.
Пусть от \(A\) до \(B\) тело летело время \(t\). Тогда \[ v_B = v_A + gt, \qquad h = v_A t + \frac{g t^2}{2}. \]
Возведём первое равенство в квадрат и подставим второе: \[ v_B^2 = v_A^2 + 2 v_A g t + g^2 t^2 = v_A^2 + 2g\left(v_A t + \frac{g t^2}{2}\right) = v_A^2 + 2gh. \]
Итак, \[ v_B = \sqrt{v_A^2 + 2gh}. \]
Проверка. При \(v_A = 0\): \(v_B = \sqrt{2gh}\) —
классическая скорость падения с высоты \(h\) ✓. Позже эта формула станет
следствием закона сохранения энергии.
Ответ
\( v_B = \sqrt{v_A^2 + 2gh} \).