Задача 1.3.5поворот вектора скорости
Условие
Камень бросают со скоростью \(v\) под углом \(\varphi\) к горизонту. Через какое время скорость будет составлять угол \(\alpha\) с горизонтом?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Горизонтальная составляющая скорости в полёте не меняется — меняется только
вертикальная. Угол наклона скорости задаётся их отношением.
Составляющие скорости в момент \(t\): \[ v_x = v\cos\varphi = \text{const},\qquad v_y = v\sin\varphi - g t. \]
Условие «угол с горизонтом равен \(\alpha\)»: \[ \tg\alpha = \frac{v_y}{v_x} = \frac{v\sin\varphi - gt}{v\cos\varphi} \quad\Longrightarrow\quad v\sin\varphi - g t = v\cos\varphi\,\tg\alpha, \] \[ t = \frac{v}{g}\left(\sin\varphi - \cos\varphi\,\tg\alpha\right). \]
Проверка. \(\alpha = \varphi\) даёт \(t=0\) ✓.
\(\alpha = 0\): \(t = (v/g)\sin\varphi\) — вершина траектории ✓. Отрицательные
\(\alpha\) (нисходящая ветвь) дают \(t > (v/g)\sin\varphi\) ✓ — формула
работает и после вершины, если понимать \(\alpha\) со знаком.
Ответ
\( t = \dfrac{v}{g}\left(\sin\varphi - \cos\varphi\,\tg\alpha\right) \).