Из орудия произведён выстрел под углом \(\varphi\) к горизонту. Начальная скорость снаряда \(v\). Поверхность Земли горизонтальна. Найдите: а) горизонтальную и вертикальную проекции скорости как функции времени; б) зависимость координат \(x\) и \(y\) от времени; в) уравнение траектории, т.е. зависимость \(y\) от \(x\); г) время полёта, наибольшую высоту и дальность полёта снаряда.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
а) Скорости. Горизонтальных сил нет, по вертикали действует ускорение \(-g\): \[ v_x = v\cos\varphi,\qquad v_y = v\sin\varphi - g t. \]
б) Координаты. Равномерное движение и «бросок вверх»: \[ x = (v\cos\varphi)\,t,\qquad y = (v\sin\varphi)\,t - \frac{g t^2}{2}. \]
в) Траектория. Выразим \(t = \dfrac{x}{v\cos\varphi}\) и подставим в \(y\): \[ y = x\,\tg\varphi - \frac{g\,x^2}{2 v^2 \cos^2\varphi}. \] Это парабола с ветвями вниз, проходящая через начало координат.
г) Время, высота, дальность. Полёт заканчивается при \(y=0\): \[ T = \frac{2v\sin\varphi}{g}. \] Вершина — в момент \(v_y = 0\), т.е. \(t = T/2\): \[ H = \frac{v^2\sin^2\varphi}{2g}. \] Дальность: \[ L = v\cos\varphi\cdot T = \frac{2v^2 \sin\varphi\cos\varphi}{g} = \frac{v^2 \sin 2\varphi}{g}. \]