По гладкой наклонной плоскости со скоростью \(v\) пускают шарик. Какое расстояние по горизонтали он пройдёт, прежде чем скатится с плоскости? Плоскость наклонена к горизонту под углом \(45^\circ\). Начальная скорость шарика образует угол \(45^\circ\) с горизонтальным краем плоскости.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Введём в плоскости оси: \(\xi\) — вдоль горизонтального (нижнего) края, \(\eta\) — вверх по склону. Ускорение направлено вниз по склону: \[ g' = g\sin 45^\circ = \frac{g}{\sqrt2}. \] Начальная скорость \(v\) составляет \(45^\circ\) с осью \(\xi\).
Получился «выстрел под углом \(45^\circ\)» в плоскости с ускорением \(g'\). Дальность такого броска (задача 1.3.6, г): \[ L = \frac{v^2 \sin(2\cdot 45^\circ)}{g'} = \frac{v^2}{g/\sqrt2} = \frac{\sqrt2\,v^2}{g}. \] Это расстояние отсчитано вдоль нижнего края плоскости, а он горизонтален — значит, это и есть искомое расстояние по горизонтали.