Из миномёта ведут стрельбу по объектам, расположенным на склоне горы.
На каком расстоянии от миномёта будут падать мины, если их начальная скорость
\(v\), угол наклона горы \(\alpha\) и угол стрельбы по отношению к горизонту
\(\beta\)?
Мина падает на склон; \(L\) отсчитывается вдоль склона.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Склон — это прямая \(y = x\,\tg\alpha\). Точка падения — пересечение
параболы траектории с этой прямой; расстояние вдоль склона —
\(x\)-координата, делённая на \(\cos\alpha\).
Уравнение траектории (задача 1.3.6):
\[ y = x\,\tg\beta - \frac{g x^2}{2 v^2\cos^2\beta}. \]
Точка падения лежит на склоне \(y = x\,\tg\alpha\):
\[ x\,\tg\alpha = x\,\tg\beta - \frac{g x^2}{2 v^2 \cos^2\beta}. \]
Сокращаем на \(x \ne 0\):
\[ x = \frac{2 v^2 \cos^2\beta}{g}\,(\tg\beta - \tg\alpha). \]
Расстояние вдоль склона:
\[ L = \frac{x}{\cos\alpha}
= \frac{2 v^2 \cos^2\beta}{g\cos\alpha}\,(\tg\beta - \tg\alpha). \]
Проверка. При \(\alpha = 0\):
\(L = \frac{2v^2\cos^2\beta \tg\beta}{g} = \frac{v^2 \sin 2\beta}{g}\) —
обычная дальность ✓. При \(\beta \to \alpha\) мина летит вдоль склона и
\(L \to 0\) ✓.
Ответ
\( L = \dfrac{2 v^2 \cos^2\beta}{g\,\cos\alpha}\,(\tg\beta - \tg\alpha) \).