С какой скоростью должен в момент старта ракеты вылететь снаряд из пушки, чтобы поразить ракету, стартующую вертикально с ускорением \(a\)? Расстояние от пушки до места старта ракеты равно \(L\), пушка стреляет под углом \(45^\circ\) к горизонту.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Оси: \(x\) — от пушки к месту старта, \(y\) — вверх. Снаряд: \[ x = \frac{v}{\sqrt2}\,t,\qquad y = \frac{v}{\sqrt2}\,t - \frac{g t^2}{2}. \] Ракета: \(x_{\text{р}} = L\), \(y_{\text{р}} = \dfrac{a t^2}{2}\).
Встреча: по горизонтали \(\dfrac{v}{\sqrt2}\,t = L\), по вертикали \[ \frac{v}{\sqrt2}\,t - \frac{g t^2}{2} = \frac{a t^2}{2}. \] Подставим \(\dfrac{v}{\sqrt2} t = L\) в вертикальное условие: \[ L = \frac{(a+g)\,t^2}{2} \quad\Longrightarrow\quad t = \sqrt{\frac{2L}{a+g}}. \]
Тогда \[ v = \frac{\sqrt2\,L}{t} = \sqrt2\,L\sqrt{\frac{a+g}{2L}} = \sqrt{L\,(a+g)}. \]