Утка летела по горизонтальной прямой с постоянной скоростью \(u\). В неё бросил камень неопытный «охотник», причём бросок был сделан без упреждения, т.е. в момент броска скорость камня \(v\) была направлена как раз на утку под углом \(\alpha\) к горизонту. На какой высоте летела утка, если камень всё же попал в неё?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Пусть в момент броска утка находилась на линии прицеливания на расстоянии \(d\) от охотника: её координаты \((d\cos\alpha,\ d\sin\alpha)\), а высота \(H = d\sin\alpha\). Камень: \(x = vt\cos\alpha\), \(y = vt\sin\alpha - gt^2/2\). Утка: \(x_{\text{у}} = d\cos\alpha + u t\), \(y_{\text{у}} = d\sin\alpha\).
По горизонтали: \[ v t\cos\alpha = d\cos\alpha + u t \quad\Longrightarrow\quad d = \frac{t\,(v\cos\alpha - u)}{\cos\alpha}. \]
По вертикали: \[ v t \sin\alpha - \frac{g t^2}{2} = d\sin\alpha = t\,(v\cos\alpha - u)\,\tg\alpha. \] Сократим на \(t\) и раскроем: \[ v\sin\alpha - \frac{g t}{2} = v\sin\alpha - u\,\tg\alpha \quad\Longrightarrow\quad t = \frac{2u\,\tg\alpha}{g}. \] Красивый промежуточный факт: время полёта зависит только от скорости утки и угла!
Высота. \[ H = d\sin\alpha = t\,(v\cos\alpha - u)\,\tg\alpha = \frac{2u}{g}\,(v\cos\alpha - u)\,\tg^2\alpha. \]