Савченко · Глава 1. Кинематика · § 1.3. Движение в поле тяжести. Криволинейное движение

Савченко, задача 1.3.11

Условие

Из отверстия шланга, прикрытого пальцем, бьют две струи под углами \(\alpha\) и \(\beta\) к горизонту с одинаковой начальной скоростью \(v\). На каком расстоянии от отверстия по горизонтали струи пересекутся?

К задаче 1.3.11. Крутая и пологая струи пересекаются в точке на расстоянии \(L\) по горизонтали.

▶Посмотреть решениеСкрыть решение

Решение

Идея Каждая струя — парабола из задачи 1.3.6. Приравняем два уравнения траекторий и воспользуемся тождеством \(1/\cos^2\varphi = 1 + \tg^2\varphi\), чтобы разность красиво разложилась на множители.

Уравнения струй: \[ y = x\,\tg\alpha - \frac{g x^2}{2v^2\cos^2\alpha},\qquad y = x\,\tg\beta - \frac{g x^2}{2v^2\cos^2\beta}. \] В точке пересечения (\(x \neq 0\)): \[ x\,(\tg\alpha - \tg\beta) = \frac{g x^2}{2v^2}\left(\frac{1}{\cos^2\alpha} - \frac{1}{\cos^2\beta}\right) = \frac{g x^2}{2v^2}\left(\tg^2\alpha - \tg^2\beta\right). \]

Сократим на \(x(\tg\alpha - \tg\beta)\): \[ 1 = \frac{g x}{2v^2}\,(\tg\alpha + \tg\beta) \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{2v^2}{g\,(\tg\alpha + \tg\beta)}. \]

Проверка. Симметричный случай \(\alpha + \beta = 90^\circ\): \(\tg\beta = \ctg\alpha\), \(x = \frac{2v^2}{g}\cdot\frac{\sin\alpha\cos\alpha}{1} = \frac{v^2\sin2\alpha}{g}\) — струи с одинаковой дальностью пересекаются точно в точке падения ✓ (дополнительные углы дают одну дальность).

Ответ \( L = \dfrac{2v^2}{g\,(\tg\alpha + \tg\beta)} \).

Следующая задача 1.3.12 →