Савченко · Глава 1. Кинематика · § 1.2. Движение с переменной скоростью

Савченко, задача 1.2.3

Задача 1.2.3путь по графику

Условие

Тело в течение времени \(t_0\) движется с постоянной скоростью \(v_0\). Затем скорость его линейно нарастает со временем так, что в момент времени \(2t_0\) она равна \(2v_0\). Определите путь, пройденный телом за время \(t > t_0\).

▶Посмотреть решениеСкрыть решение

Решение

Идея Путь — площадь под графиком \(v(t)\). Она складывается из прямоугольника высоты \(v_0\) (на всю ширину \(t\)) и треугольника, который нарастает после момента \(t_0\).

Путь = голубой прямоугольник + песочный треугольник.

После момента \(t_0\) скорость растёт линейно с темпом \[ \frac{2v_0 - v_0}{2t_0 - t_0} = \frac{v_0}{t_0}, \] то есть при \(t > t_0\): \( v(t) = v_0 + \dfrac{v_0}{t_0}\,(t - t_0) \).

Площадь под графиком от \(0\) до \(t\) разобьём на прямоугольник высоты \(v_0\) и ширины \(t\) и треугольник с основанием \(t - t_0\) и высотой \(v(t) - v_0 = \dfrac{v_0}{t_0}(t-t_0)\): \[ L = v_0\,t + \frac{1}{2}\,(t-t_0)\cdot\frac{v_0}{t_0}\,(t-t_0) = v_0\,t + \frac{v_0\,(t-t_0)^2}{2\,t_0}. \]

Проверка. При \(t = t_0\): \(L = v_0 t_0\) — равномерный участок, верно. При \(t = 2t_0\): \(L = 2v_0t_0 + v_0t_0/2 = 2{,}5\,v_0t_0\) — как средняя скорость \(1{,}5v_0\) на втором участке: \(v_0t_0 + 1{,}5v_0t_0\) ✓.

Ответ \( L = v_0\,t + \dfrac{v_0\,(t-t_0)^2}{2\,t_0} \).

Следующая задача 1.2.4 →