Частица, покинув источник, пролетает с постоянной скоростью расстояние \(L\), а затем тормозится с ускорением \(a\). При какой скорости частицы время движения от её вылета до остановки будет наименьшим?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Полное время движения: \[ t(v) = \underbrace{\frac{L}{v}}_{\text{полёт}} + \underbrace{\frac{v}{a}}_{\text{торможение}}. \]
Произведение слагаемых не зависит от \(v\): \[ \frac{L}{v}\cdot\frac{v}{a} = \frac{L}{a} = \text{const}. \] По неравенству о среднем арифметическом и среднем геометрическом \[ t = \frac{L}{v} + \frac{v}{a} \ \ge\ 2\sqrt{\frac{L}{v}\cdot\frac{v}{a}} = 2\sqrt{\frac{L}{a}}, \] причём равенство — ровно тогда, когда слагаемые равны: \[ \frac{L}{v} = \frac{v}{a} \quad\Longrightarrow\quad v = \sqrt{La}. \]