Мигрирующие рыбы, накопив в море запас жира, заходят в устья рек. В пресной воде они не питаются, поэтому им важно добраться до нерестилищ в верховьях реки с наименьшими потерями массы. Расход жира на поддержание основного обмена веществ в организме рыбы за единицу времени равен \(N\), а добавочный расход \(bv^2\) тратится на движение со скоростью \(v\). С какой скоростью должны двигаться рыбы, чтобы затраты жира на пути до нерестилища были минимальными? (Рыбы прекрасно чувствуют эту скорость.)
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Путь \(S\) рыба проплывает за время \(t = S/v\). Полный расход жира: \[ Q = \left(N + b v^2\right) t = S\left(\frac{N}{v} + b v\right). \]
Произведение слагаемых в скобке постоянно: \(\dfrac{N}{v}\cdot bv = Nb\). По неравенству о средних \[ \frac{N}{v} + bv \ \ge\ 2\sqrt{Nb}, \] с равенством при \[ \frac{N}{v} = b v \quad\Longrightarrow\quad v = \sqrt{\frac{N}{b}}. \]
Смысл: плыть слишком медленно невыгодно — «основной обмен» капает всё время, и путь растягивается; слишком быстро — расход на плавание растёт как \(v^2\). Оптимум — когда обе статьи расхода на метр пути сравниваются. Минимальные затраты: \(Q_{\min} = 2S\sqrt{Nb}\).