Снаряд, вылетев из орудия, попал в точку с координатами \(x\) по горизонтали и \(y\) по вертикали. Начальная скорость снаряда \(v\). Найдите: а) тангенс угла, образуемого стволом орудия с горизонтом; б) границу области возможного попадания снаряда; в) наименьшую начальную скорость снаряда, при которой он может попасть в точку с координатами \(x\), \(y\).
Указание. При решении воспользуйтесь тригонометрическим тождеством \(1/\cos^2\varphi = \tg^2\varphi + 1\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
а) Угол. Подставим точку \((x,y)\) в уравнение траектории и заменим \(1/\cos^2\varphi = 1 + \tg^2\varphi\): \[ y = x\,\tg\varphi - \frac{g x^2}{2 v^2}\left(1 + \tg^2\varphi\right). \] Это квадратное уравнение относительно \(p = \tg\varphi\): \[ \frac{g x^2}{2 v^2}\,p^2 - x\,p + \left(y + \frac{g x^2}{2v^2}\right) = 0, \] \[ p = \tg\varphi = \frac{v^2 \pm \sqrt{v^4 - 2g v^2 y - g^2 x^2}}{g\,x}. \] Два знака — два способа попасть: настильная и навесная траектории.
б) Граница области поражения. Попадание возможно, пока дискриминант неотрицателен: \[ v^4 - 2g v^2 y - g^2 x^2 \ge 0 \quad\Longleftrightarrow\quad y \le \frac{v^2}{2g} - \frac{g x^2}{2 v^2}. \] Граница — парабола безопасности \[ y = \frac{v^2}{2g} - \frac{g x^2}{2 v^2}: \] выше неё не долетит ни один снаряд, каждая точка под ней достижима двумя способами, на самой границе — одним.
в) Наименьшая скорость. Минимальная \(v\) — когда точка \((x,y)\) лежит ровно на границе: \[ v^4 - 2g y\,v^2 - g^2 x^2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad v^2 = g\left(y + \sqrt{x^2 + y^2}\right), \] \[ v_{\min} = \sqrt{g\left(y + \sqrt{x^2+y^2}\right)}. \]