По внутренней поверхности гладкого вертикального цилиндра радиуса \(R\) под углом \(\alpha\) к вертикали пускают шарик. Какую начальную скорость ему надо сообщить, чтобы он вернулся в исходную точку?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Разложим начальную скорость: вертикально вверх \(v\cos\alpha\), горизонтально (по касательной к окружности) \(v\sin\alpha\). Реакция стенки горизонтальна и всегда перпендикулярна горизонтальной скорости — она лишь закручивает шарик по окружности радиуса \(R\), не меняя модуля \(v\sin\alpha\).
Вертикаль: шарик вернётся на исходную высоту через \[ t = \frac{2 v\cos\alpha}{g}. \]
Горизонталь: за это время он должен пройти по окружности целое число полных кругов: \[ v\sin\alpha \cdot t = 2\pi R\,n,\qquad n = 1, 2, 3, \dots \]
Подставляем \(t\): \[ \frac{2 v^2 \sin\alpha\cos\alpha}{g} = 2\pi R n \quad\Longrightarrow\quad \frac{v^2 \sin 2\alpha}{g} = 2\pi R n, \] \[ v = \sqrt{\frac{2\pi R\,g\,n}{\sin 2\alpha}}. \]