В трубу длины \(l\), наклонённую под углом \(\alpha\) к горизонту, влетает шарик с горизонтальной скоростью \(v\). Определите время пребывания шарика в трубе, если удары шарика о её стенки упругие.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Вдоль трубы: начальная скорость \(v\cos\alpha\) (проекция горизонтальной скорости на ось трубы), ускорение \(-g\sin\alpha\) (труба поднимается). Поперёк: шарик прыгает между стенками, но эти удары не влияют на продольное движение.
Случай 1: шарик не долетает до конца трубы. Продольное движение — «бросок вверх»: шарик проедет вдоль трубы максимум \[ s_{\max} = \frac{(v\cos\alpha)^2}{2 g \sin\alpha}. \] Если \(s_{\max} < l\), т.е. \(v\cos\alpha < \sqrt{2 g l \sin\alpha}\), — шарик остановится (в продольном смысле), покатится назад и вылетит там же, где влетел. Время — как у броска вверх и обратно: \[ t = \frac{2 v\cos\alpha}{g\sin\alpha} = \frac{2v}{g}\,\ctg\alpha. \]
Случай 2: шарик пролетает трубу насквозь (\(v\cos\alpha > \sqrt{2 g l\sin\alpha}\)). Тогда время найдём из \[ l = v\cos\alpha\,t - \frac{g\sin\alpha}{2}\,t^2 \] (берём меньший корень — первый приход к концу трубы): \[ t = \frac{v\cos\alpha - \sqrt{v^2\cos^2\alpha - 2 g l \sin\alpha}}{g\sin\alpha}. \] Вынесем \(v\cos\alpha\) из-под корня и учтём, что \(\dfrac{2gl\sin\alpha}{v^2\cos^2\alpha} = \dfrac{2gl\,\tg\alpha}{v^2\cos\alpha}\): \[ t = \frac{v}{g}\,\ctg\alpha\left(1 - \sqrt{1 - \frac{2 g l\,\tg\alpha}{v^2 \cos\alpha}}\right). \]